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| Aufgabe | | Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und F: V -> V ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann ist F diagonalisierbar. Genauer: Es existiert eine Orthonormalbasis B von V , die aus Eigenvektoren von F besteht. |
Warum ist B Orthonormalbasis? Warum nicht nur unabhängig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Do 27.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt
> und F: V -> V ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann
> ist F diagonalisierbar. Genauer: Es existiert eine
> Orthonormalbasis B von V , die aus Eigenvektoren von F
> besteht.
>
> Warum ist B Orthonormalbasis? Warum nicht nur unabhängig?
Weil der Spektralsatz dir nicht nur irgendeine Basis liefert, sondern eine Orthonormalbasis. Der Satz sagt dir naemlich, dass selbstadjungierte Endomorphismen orthogonal diagonalisierbar sind (und nicht einfach nur diagonalisierbar).
LG Felix
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