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| Aufgabe | Durch die Übergangsmatrix [mm] P=(p_{i,j})_{i,j\in I} [/mm] sei eine Markovkette auf dem endlichen Zustandsraum [mm] I:=\{1,\ldots,N\} [/mm] gegeben. Diese sei ferner irreduzibel und aperiodisch (das heißt es gibt ein [mm] k\in\mathbb{N}, [/mm] so dass [mm] p_{i,j}^{(k)}>0 [/mm] für alle [mm] i,j\in \var{I} [/mm] gilt). Zeigen Sie:
(i) [mm] \lambda=1 [/mm] ist der einzige Eigenwert von [mm] \var{P} [/mm] mit Betrag 1.
(ii) Die geometrische Vielfachheit von [mm] \lambda=1 [/mm] ist Eins. Der zugehörige Eigenraum wird durch [mm] (1,\ldots,1)^T [/mm] aufgespannt. |
Hallo Forum und Freunde der Markovketten...
von der obigen Aufgabe habe ich bereits (i) gelöst, wobei ich mich im Wesentlichen an:
http://www.numbertheory.org/courses/MP274/markov.pdf , THEOREM 4.10
orientiert habe, d. h. ich habe die Aussage zunächst für [mm] P^k [/mm] gezeigt und anschließend den Zusammenhang zu [mm] \var{P} [/mm] hergestellt.
Zu (ii) habe ich jedoch keine Idee. Für [mm] P^k [/mm] wäre es (analog zum Beweis von THEOREM 4.10) möglich, ich denke aber nicht, dass mir das so etwas bringt. Also, ich bin jedem für einen Ansatz für (ii) dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 06.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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