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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Chiolo |
Guten abend,
ich möchte gerne eine alte Klausuraufgabe (mündlich überliefert) lösen.
Gesucht ist das Spektrum folgender Funktion:
[mm] U(t) = 4,375V \cdot \sin(2\pi 1000Hz\cdot t) [/mm]
Das Problem ist, dass die Funktion auf [mm] \pm 3,5V [/mm] begrenzt ist.
Die Lösung soll nicht durch Fourier-Reihenentwicklung erfolgen (oder doch? wir probierens erst mal ohne...).
Meine Vorüberlegungen:
Der Funktionsverlauf im Zeitbereich ist eine Sinusfunktion mit der Periode 1ms. Im Intervall 0,1476 bis 0,3524 (=0,5-1,476) hat die Funktion konstant den Wert 3,5V, im Intervall 0,6476 bis 0,8524 ms konstant den Wert -3,5V.
Der Witz liegt jetzt sicher darin, die Funktion als Summe oder als Produkt elementarer Funktionen darzustellen, deren Fourierkorrepondierenden bekannt sind. Aber wie? Als Summe aus Sinus- und konstanter Funktion (oder Rechteckfunktion?) sehe ich nicht, wie ich die Zeitintervalle in den Frequenzbereich "übersetzt" kriege (geht gar nicht, oder?). Als Produkt der Sinusfunktion mit (mit was? Rechteck, delta-Kamm...?) spielen mir doch immer die Sinuswerte mit rein, die mich gar nicht interessieren... .
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank im voraus!
Ein Studentlein
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Guten abend,
hallo,
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> ich möchte gerne eine alte Klausuraufgabe (mündlich
> überliefert) lösen.
> Gesucht ist das Spektrum folgender Funktion:
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> [mm]U(t) = 4,375V \cdot \sin(2\pi 1000Hz\cdot t)[/mm]
> Das Problem
> ist, dass die Funktion auf [mm]\pm 3,5V[/mm] begrenzt ist.
> Die Lösung soll nicht durch Fourier-Reihenentwicklung
> erfolgen (oder doch? wir probierens erst mal ohne...).
>
> Meine Vorüberlegungen:
> Der Funktionsverlauf im Zeitbereich ist eine Sinusfunktion
> mit der Periode 1ms. Im Intervall 0,1476 bis 0,3524
> (=0,5-1,476) hat die Funktion konstant den Wert 3,5V, im
> Intervall 0,6476 bis 0,8524 ms konstant den Wert -3,5V.
> Der Witz liegt jetzt sicher darin, die Funktion als Summe
> oder als Produkt elementarer Funktionen darzustellen, deren
> Fourierkorrepondierenden bekannt sind. Aber wie? Als Summe
> aus Sinus- und konstanter Funktion (oder Rechteckfunktion?)
> sehe ich nicht, wie ich die Zeitintervalle in den
> Frequenzbereich "übersetzt" kriege (geht gar nicht,
> oder?). Als Produkt der Sinusfunktion mit (mit was?
> Rechteck, delta-Kamm...?) spielen mir doch immer die
> Sinuswerte mit rein, die mich gar nicht interessieren... .
auf die schnelle fällt mir nur ein:
1 periode aufzeichnen, die zeitpunkte berechnen, wann die sinusschwingung [mm] \pm [/mm] 3,5V erreicht.
danach kannst du das erste teilstück mit dem sinus und der multiplikation eines fensters bestimmen, danach hast du ein konstantes rechteck, dann wieder n sinus mit der fensterfunktion usw.. wie das einfacher geht sehe ich gerade nicht
könnte dann also wohl etwas aufwenidger werden
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> Hat jemand eine Idee?
> Vielen Dank im voraus!
> Ein Studentlein
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
gruß tee
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:23 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Chiolo |
Ah, jetzt ist der Groschen bei mir immerhin mit der "Übersetzung" des Zeitintervalls ins Spektrum gefallen: Die Multiplikation mit der Fensterfunktion... !
Danke, Tee!
Dazu fällt mir gleich die nächste Frage ein: Diese Fensterfunktion, die ich brauche (Höhe 1, Mittelpunkt bei z.B. +0,5, Breite 2 mal 0,1476 (d.i. der Zeitpunkt, wo die Funktion 3,5V erreicht) =0,2952) sähe so aus: [mm] rect[\bruch{t-0,5}{0,2952}] [/mm], oder? (oder +0,5 im Zähler?)
"Normal" würde ich so eine Funktion in den Ursprung verschieben, aber das will ich hier ja gerade nicht. Die -0,5 im Zähler bewirkt bei der korrespondierenden sinc-Funktion die Multiplikation mit dem komplexen Phasenfaktor [mm] e^{-j2\pif0,5}[/mm]. Hat dieser Phasenfaktor Einfluss auf mein Amplitudenspektrum bzw., wenn ich U(f) suche stört mich dieser Phasenfaktor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mi 06.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 05.07.2011 | | Autor: | Chiolo |
Also, diese Fenster-für Fenster-artige Beschreibung führt wirklich zu sehr komplizierten Ausdrücken.... . So kann die Aufgabe nicht gemeint gewesen sein.
In der Aufgabe war übrigens nach der Amplitude der ersten Oberwelle gefragt... Hilft das irgendwie weiter? Erlaubt das z.B., die begrenzte Sinusfunktion durch zwei periodische Rechtecke mit den Höhen 3,5V bzw. -3,5V zu ersetzen? Dann käme ich weiter... . Aber eigentlich habe ich dann ein anderes Spektrum und damit auch eine andere erste Oberwelle, oder?
Grüße, Chiolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Do 07.07.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo chiolo,
das Spektrum über eine Fourierreihenentwicklung im Zeitbereich zu bestimmen, ist eine rechenintensive Sache, denn Du musst unterschiedliche Kurvenabschnitte berücksichtigen. Deswegen mein Vorschlag hier, das Ganze im Frequenzbereich zu bestimmen. Die gesuchte Funktion im Zeitbereich ergibt sich aus der Multiplikation eines Rechtecksignals entsprechender Höhe mit dem Sinussignal. Im Frequenzbereich führt dies zu einem Faltungsintegral, das aber nicht so kompliziert zu lösen ist, da der Sinus durch eine Deltafunktion dargestellt wird und die Ausblendeigenschaft der Deltafunktion führt zu einer einfachen Lösung des Faltungsintegrals.
Du siehst, es gibt mehrere Lösungsansätze, aber da ich zumindest nicht weiss, welchen Background Du auf diesem Gebiet hast bzw, was ihr benutzen dürft / sollt, ist die Antwort zum Lösungsweg nicht so einfach zu geben.
By the way, selbstverständlich beeinflusst die Phase der einzelnen Fourierkomponenten das Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Chiolo |
Danke, Infinit, ich denke darauf zielte die Aufgabe ab!
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