Spektrum von Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein ganz dringendes Problem bei einer Aufgabe.
a)
Man soll das Spektrum für die Operatoren bestimmen, wobei die Spektralwerte dem Punktspektrum [mm] \sigma_P(T), [/mm] dem kontinuierlichen Spektrum [mm] \sigma_c(T) [/mm] und dem Restspektrum [mm] \sigma_r(T) [/mm] zugeordnet werden sollen.
Weiterhin soll man [mm] |\lambda| [/mm] für [mm] \lambda\in\sigma(T) [/mm] mit der entsprechenden Operatornorm vergleichen.
[mm] (Tx)(t)=\integral_{0}^{1}{tsx(s) ds}
[/mm]
und
[mm] (Tx)(t)=\integral_{0}^{t}{x(s) ds}
[/mm]
b)
Was würde sich am Spektrum für den zweiten Operator ändern, wenn anstelle der stetigen Funktionen der Raum [mm] X=L_2(0,1) [/mm] genommen wird?
Ich wäre euch dankbar für eine schnelle Antwort!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Beide Operatoren sind kompakt.
Was weißt Du über das Spektrum kompakter Operatoren ?
FRED
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Über das Spektrum kompakter Operatoren weiß ich, dass jedes [mm] \lambda \not= [/mm] 0 entweder zum Punktspektrum oder zu der Resolventenmenge gehört. Wobei das Punktspektrum endlich oder eine Nullfolge ist.
Leider weiß ich gar nicht, wie ich an die Aufgabe herangehen soll, dazu fehlt der entscheidene Ansatzpunkt.
Um die Eigenwerte zu bestimmen, muss folgende Rechnung durchgeführt werden:
[mm] \lambda [/mm] x(t) - [mm] \integral_{0}^{1}{tsx(s) ds}=0 \to \lambda x(t)=\integral_{0}^{1}{tsx(s) ds}
[/mm]
Wie schließe jetzt auf die Spektren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Über das Spektrum kompakter Operatoren weiß ich, dass
> jedes [mm]\lambda \not=[/mm] 0 entweder zum Punktspektrum oder zu
> der Resolventenmenge gehört. Wobei das Punktspektrum
> endlich oder eine Nullfolge ist.
>
> Leider weiß ich gar nicht, wie ich an die Aufgabe
> herangehen soll, dazu fehlt der entscheidene Ansatzpunkt.
>
> Um die Eigenwerte zu bestimmen, muss folgende Rechnung
> durchgeführt werden:
>
> [mm]\lambda[/mm] x(t) - [mm]\integral_{0}^{1}{tsx(s) ds}=0 \to \lambda x(t)=\integral_{0}^{1}{tsx(s) ds}[/mm]
Ziehe doch das t aus dem Inegral heraus: [mm] \integral_{0}^{1}{tsx(s) ds}= [/mm] t [mm] \integral_{0}^{1}{sx(s) ds}
[/mm]
Bez. man das letzt Integral mit c, so bekommst Du
[mm] $\lambda*x(t)=ct$
[/mm]
FRED
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> Wie schließe jetzt auf die Spektren?
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Ich weiß nun, dass ||T||=1/2 ist und somit [mm] |\lambda|\le1/2, [/mm] d.h. die Spektren liegen in diesem Bereich. Und wie schließe ich auf die Art des Spektrums?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Fr 28.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich weiß nun, dass ||T||=1/2 ist und somit
> [mm]|\lambda|\le1/2,[/mm] d.h. die Spektren liegen in diesem
> Bereich. Und wie schließe ich auf die Art des Spektrums?
Du weisst doch schon, das es kein stetiges oder Residualspektrum gibt. Außerdem weisst du, dass die Eigenfunktionen zu den [mm] $\lambda$ [/mm] aus dem Punktspektrum lineare Funktionen, also von der Form $x(t)=k*t$ sind. Setze das in
[mm](Tx)(t) = \lambda x(t) [/mm]
ein und rechne das Integral aus.
Viele Grüße
Rainer
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