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Forum "Funktionalanalysis" - Spektrum von unitären operator
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Spektrum von unitären operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Do 25.10.2007
Autor: pyrrhus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wie zeig ich, dass das Spektrum
eines unitären Operators Teilmenge
von  [mm] \left\{ z \in \IC : |z| = 1 \right\} [/mm]  ist?
Ich hatte soviele Ideen das anzugehen aber nichts hat geklappt.

        
Bezug
Spektrum von unitären operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Do 25.10.2007
Autor: rainerS

Hallo,

> Wie zeig ich, dass das Spektrum
> eines unitären Operators Teilmenge
> von  [mm]\left\{ z \in \IC : |z| = 1 \right\} [/mm]  ist?

Kannst du es für Operatoren in endlichdimensionalen Räumen zeigen?

Nur so als Idee: Für einen unitären Operator T gilt: [mm]T^\ast = T^{-1}[/mm]. Wie hängt das Spektrum von [mm]T^\ast[/mm] mit dem von [mm]T[/mm] zusammen?  Was kannst du aus [mm]T^\ast T = T T^\ast = 1[/mm] folgern?

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
                
Bezug
Spektrum von unitären operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Do 25.10.2007
Autor: pyrrhus

Aus U* = U^-1 folgt wohl <Ux,Ux> = <x,x>
Aber das hat mir irgendwie nicht weitergeholfen.
Ich versuche gerade die ganze Zeit
||(U-z)x|| abzuschätzen um zu beweisen, dass
(U-z) bijektiv ist.

Wie hängt denn das Spektrum von T* mit dem von U zusammen?
Das hatten wir noch nicht
Bezug
                        
Bezug
Spektrum von unitären operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Do 25.10.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Wie hängt denn das Spektrum von T* mit dem von U zusammen?

(EDIT: Waagrechter Strich für's Konj. kompl. fehlte)

Einfach das konjugiert komplexe nehmen, wegen

[mm] = = \overline{}[/mm]


Dein [mm] = [/mm] ist doch schon ein guter Ansatz. Wenn es ein x zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm] gibt mit [mm]Ux=\lambda x[/mm], so ist [mm] = <\lambda x ,\lambda x> = |\lambda|^2 [/mm].

Im Endlichdimensionalen wärst du damit fertig. Für Operatoren in unendlichendimensionalen Räumen bin mir nicht sicher, ob das schon reicht.

Viele Grüße
   Rainer
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Bezug
Spektrum von unitären operator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Do 25.10.2007
Autor: pyrrhus

oh okey ich danke vielmals!

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Bezug
Spektrum von unitären operator: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:48 Do 25.10.2007
Autor: pyrrhus

Halleluja!!
ich glaub ich habs.... nicht wirklich schön aber...


Also sei U-z nicht bijektiv
dann folgt U-z nicht surjektiv oder nich injektiv

U-z nicht injektiv:
----------------------
dann existiert x mit (U-z)(x) = 0
<=> U(x) = zx  <=> ||Ux|| = ||zx|| <=>  ||x|| = [mm] |z|^2 [/mm] ||x|| <=> |z| =1


U-z nicht surjektiv:
----------------------
Dann ist Range(U-z) != H
<=> (U-z)^orthogonal = Kern (U*-z*) != 0
dann existiert x mit (U*-z*)(x) = 0
<=> U*(x) = z*x  <=> ||U*x|| = ||z*x|| <=>  ||x|| = [mm] |z|^2 [/mm] ||x|| <=> |z| =1


und stimmt das????
danke nochmals für deine Hilfe!!!
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Bezug
Spektrum von unitären operator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:02 Do 25.10.2007
Autor: rainerS

Sieht gut aus, nur das "hoch 2" in [mm]|z|^2[/mm] ist zuviel, denn [mm]\|zx\| = |z|\|x\|[/mm].

Es sollte aber jemand noch draufschauen, der sich besser an die Funktionalanalysis erinnert als ich ;-)

  Viele Grüße
    Rainer
Bezug
                                
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Spektrum von unitären operator: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Sa 27.10.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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