Spezieller Integritätsbereich < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Wieder einmal ein nicht nachzuvollziehender Beweis:
Wir betrachten [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] für n [mm] \not\equiv [/mm] 1(mod4), n<-2, -n ist keine Primzahl, n quadratfrei (es existiert keine Primzahl p mit p²|n). Wenn p eine Primzahl < |n|, p in [mm] \IZ[\wurzel{n}] [/mm] unzerlegbar. Dann ist n von der Form [mm] n=-p*n_{1}. [/mm] Betrachte nun [mm] n=\wurzel{n}*\wurzel{n}=-p*n_{1}.
[/mm]
Und nun soll folgen, dass [mm] \bruch{\wurzel{n}}{p} \not\in \IZ[\wurzel{n}] [/mm] ist. Warum? Hat das was mit dem quadratfrei zu tun?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 So 11.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wieder einmal ein nicht nachzuvollziehender Beweis:
> Wir betrachten [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] für n [mm]\not\equiv[/mm] 1(mod4),
> n<-2, -n ist keine Primzahl, n quadratfrei (es existiert
> keine Primzahl p mit p²|n). Wenn p eine Primzahl < |n|, p
> in [mm]\IZ[\wurzel{n}][/mm] unzerlegbar. Dann ist n von der Form
> [mm]n=-p*n_{1}.[/mm] Betrachte nun
> [mm]n=\wurzel{n}*\wurzel{n}=-p*n_{1}.[/mm]
> Und nun soll folgen, dass [mm]\bruch{\wurzel{n}}{p} \not\in \IZ[\wurzel{n}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ist. Warum? Hat das was mit dem quadratfrei zu tun?
Betrachte die Norm von $\frac{\sqrt{n}{p}$: diese ist $\frac{|n|}{p^2}$. Die eines allgemeinen Elementes $a + b \sqrt{n} \in \IZ[\sqrt{n}]$ ist $a^2 + b^2 |n|$: aus $b \neq 0$ folgt also, dass die Norm mindestens $|n|$ umfasst. Da $|n|/p^2 < |n|$ ist, muss also $\frac{\sqrt{n}}{p} = a \in \IZ$ sein, falls $\frac{\sqrt{n}}{p} \in \IZ[\sqrt{n}]$ ist. Kann das sein? (Tipp: in dem Fall waere $\IQ(\sqrt{n}) = \IQ(\sqrt{n}/p) = \IQ$, also $\sqrt{n} \in \IQ$.)
LG Felix
|
|
|
|
