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Sei U [mm] \cup \IR^{n} [/mm] eine offene teilmenge, welche die sphäre
[mm] S^{n-1} [/mm] = (x [mm] \in \IR^{n}; x^{2}_{1}+...+x^{2}_{n}=1) [/mm] umfasst.
zz: [mm] \exists \epsilon [/mm] >0, sodass alle [mm] y\in \IR^{n} [/mm] der form
y=tx mit |t-1|< [mm] \epsilon; [/mm] x [mm] \in S^{n-1} [/mm] in U enthalten ist.
ich hab echt keinen schimmer was sphären angeht, hatten das zwar in der vorlesung, habs aber nicht wirklich verstanden wie kann ich die sphäre ausschlachten, damit ich das beweisen kann?
muß ich dabei die ganzen x'e einsetzen und dafür ein t bestimmten? oder ein bel. x aus der sphäre nehmen? brauche ich überhaupt die sphäreneigenschaften?
danke im voraus
greetz
dschingis
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> Sei U [mm]\cup \IR^{n}[/mm] eine offene teilmenge, welche die
> sphäre
> [mm]S^{n-1}[/mm] = (x [mm]\in \IR^{n}; x^{2}_{1}+...+x^{2}_{n}=1)[/mm]
> umfasst.
> zz: [mm]\exists \epsilon[/mm] >0, sodass alle [mm]y\in \IR^{n}[/mm] der form
> y=tx mit |t-1|< [mm]\epsilon;[/mm] x [mm]\in S^{n-1}[/mm] in U enthalten
> ist.
>
> ...wie kann ich die sphäre ausschlachten, damit ich das
> beweisen kann?
Hallo Dschingis,
Messer wetzen, zustechen und Blut auffangen:
Daß U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen ist, bedeutet, daß es zu jedem u [mm] \in [/mm] U ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt, so daß die offene [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um u in U liegt,
K(u, [mm] \varepsilon):= [/mm] {x [mm] \in IR^{n}| [/mm] d(x,u)< [mm] \varepsilon [/mm] } [mm] \subset [/mm] U.
Da [mm] S^{n-1}\subset [/mm] U, gilt dies also insbesondere für die Elemente von [mm] S^{n-1}.
[/mm]
Nimm nun ein beliebiges x aus der Sphäre:
Sei also x [mm] \in S^{n-1}. [/mm] Dann gibt es ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] so, daß [mm] K(x,\varepsilon)\subset [/mm] U, weil U offen.
Betrachte nun y=tx mit [mm] |t-1|<\varepsilon.
[/mm]
Berechne d(y,x)=... und folgere, daß [mm] y\in K(x,\varepsilon). [/mm]
==> y [mm] \in [/mm] U
Alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:42 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Dschingis |
ja danke,
habs verstanden, dann werd ich mal meine messer holen und zustechen
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