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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Do 20.02.2014 | | Autor: | Obijeff |
| Aufgabe | Geben sie eine Matrix S an die eine Spiegelung an der x-z-Ebene beschreibt
S=
Eine Orthogonalbasis {u1,U2,u3} des R3 aus Eigenvektoren von S wird gebildet durch?
u1=
u2=
u3=
Mit den Eigenwerten y1= , y2= , y3= ? |
Ich bin mir nicht sicher ob ich das Thema rund um [mm] Drehung\Spiegelung [/mm] richtig verstanden habe.
Ich kenne die allgemeine Drehmatrix
( cos a -sin a)
( sin a cos a )
Und Spiegelungsmatrix
( cos a sin a)
( sin a -cos a)
Außerdem weiß ich das diese Matritzen immer Orthogonal sind und die Eigenwerte nur 1 oder -1 sind
Aber beim aufstellen der Spiegelungsmatrix um die x-z- Ebene habe ich Probleme.
Die anderen aufgabenteile sind anschließend geschenkt da ich sobald ich die Matrix aufgestellt habe aus den normierten Spalten die ONS bestimmen kann und so die Eigenwerte 1 oder -1 bestimme, aber wie stelle ich so eine Matrix auf?
Intuitiv wäre meine Spiegelungsmatrix um z-x- Ebene
(1 0 0)
(0 -1 0)
(0 0 -1)
Könnte mir da jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage noch in keinem Forum anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Do 20.02.2014 | | Autor: | herben |
Überleg dir, wohin die Achsen abgebildet werden, wenn Du sie an der x-z-Ebene spiegelst. Die x- und z-Achse sind ja gerade invariant unter der Spiegelung, weil sie in der Spiegelebene liegen. Die y-Achse ist senkrecht auf der Spiegelebene, zeigt nach der Spiegelung also genau in die andere Richtung.
Deine "Spiegelmatrix" ist nicht richtig. Sie ist auch gar keine Spiegelmatrix, denn diese haben nicht nur die Eigenwerte 1, 1 und -1, sondern auch genau in dieser Anzahl. Also zweimal 1 und einmal -1. Daher kann deine Matrix keine Spiegelung der gesuchten Art beschreiben (auch weil Spiegelmatrizen Determinante -1 haben und deine hat das nicht).
Überleg dir, wie die Matrix aussehen muss, wenn die x- und z-Achse invariant bleiben und alle Vektoren auf der y-Achse auf ihr negatives abgebildet werden. Wenn du den Schritt hast, ist direkt klar, wie die Eigenvektoren aussehen müssen. Bei "guter" Wahl bilden diese Vektoren direkt eine ONB.
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