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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 So 03.03.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei V ein endlich dimensionaler Euklidischer oder unitärer Vektorraum und W [mm] \subseteq [/mm] V ein Teilraum. Es bezeichne
[mm] \sigma: [/mm] V-> V, die Spiegelung an W längs [mm] W^{\perp},d.h.
[/mm]
[mm] \sigma= 2p-id_v
[/mm]
,wobei p die Orthogonalprojektion auf W bezeichnet.
Ist [mm] b_1 [/mm] ,.., [mm] b_k [/mm] eine Orthonormalbasis von W, so gilt
[mm] p(v)=\sum_{i=1}^k(
v [mm] \in [/mm] V
Wir hatten nun das Bsp.:
Für jeden Einheitsvektor a [mm] \in [/mm] V ,norm(a)=1 , eines euklidischen Vektorraums bezeichnen wir mit [mm] \sigma_a [/mm] : V->V eine Spiegelung an der Hyperebene [mm] a^{\perp} [/mm] längs <a>
[mm] \sigma_a [/mm] : V->V , [mm] \sigma_a [/mm] (v)= v - 2 <a,v> a , v [mm] \in [/mm] V
WIe komme ich von [mm] \sigma= 2p-id_v [/mm] auf [mm] \sigma_a [/mm] (v)= v - 2 <a,v> a?? |
Hallo,
Jap, die Frage tauchte beim lernen auf.
Hat wer eine Idee?
Lg..;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Mo 04.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Ist n= dim V, so ist $ [mm] a^{\perp} [/mm] $ ein n-1 dimensionaler Unterraum.
Sei [mm] b_1, [/mm] ...., [mm] b_{n-1} [/mm] eine ONB diese Unteraumes. Dann ist [mm] b_1, [/mm] ...., [mm] b_{n-1},a [/mm] eine ONB von V.
Wir haben dann ( mit [mm] b_n:=a)
[/mm]
$ [mm] p(v)=\sum_{i=1}^{n-1}a=id_V(v)-a$ [/mm] .
Damit ist [mm] $2p(v)-id_V(v)=v [/mm] - 2 <a,v> a$
FRED
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