Spiegelung bzg. der Basis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Di 30.11.2010 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Spiegelung s an der Geraden y= -2x
Beschreiben Sie die Spiegelung sb in den Koordinaten bezueglich der Basis
[mm] \vektor{1\\-2},\vektor{2\\-1}
[/mm]
Teilaufgabe b folgt spaeter |
guten Tag,
bin wieder mal etwas ratlos:
ich verstehe das so
[mm] \vektor{1\\-2} [/mm] = (x1,1 + x1,2) * [mm] \vektor{1\\0}
[/mm]
[mm] \vektor{2\\-1} [/mm] = (x1,1 +x1,2) [mm] *\vektor{0\\1}
[/mm]
dies ist komplett falsch
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> Betrachten Sie die Spiegelung s an der Geraden y= -2x
> Beschreiben Sie die Spiegelung sb in den Koordinaten
> bezueglich der Basis
> [mm]\vektor{1\\
-2},\vektor{2\\
-1}[/mm]
> Teilaufgabe b folgt spaeter
> guten Tag,
> bin wieder mal etwas ratlos:
>
> ich verstehe das so
> [mm]\vektor{1\\
-2}[/mm] = (x1,1 + x1,2) * [mm]\vektor{1\\
0}[/mm]
> [mm]\vektor{2\\
-1}[/mm] = (x1,1 +x1,2) [mm]*\vektor{0\\
1}[/mm]
Hallo,
ich verstehe gerade nicht, was Du verstanden zu haben meinst.
Ein paar erläuternde Worte wären nicht übel, dann könnte man der Sache vielleicht auf die Spur kommen.
Was war denn in der letzten Zeit dran in der Vorlesung?
Du hast also eine gerade y=-2x gegeben, welche Achse einer Spiegelung sein soll.
Kannst Du einen Richtungsvektor dieser Geraden sagen?
Was haben die beiden gegebenen Basisvektoren mit der besagten Geraden zu tun?
Zur Spiegelung: was passiert bei der Spiegelung mit Vektoren, die in Richtung Spiegelachse zeigen?
Was passiert mit solchen, die senkrecht dazu sind?
Geh bitte bei Nachfragen sehr genau auf die hier gestellten Fragen ein.
Sie sind nicht aus Neugierde gestellt, sondern sie sollen Wegweiser für Dich sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 30.11.2010 | | Autor: | lisa11 |
1. in der Vorlesung war dran:
Lin. Abbildung, Basen, Dimensionen, Vektorraeume,Unterrvektorraum,
Bildraum, kan. Basisvektoren, Abbildung des Vektorraums....
2. Richtungsvektor:
0 = y+ 2x
v [mm] =\vektor{1\\2}
[/mm]
3. Was haben die beiden Basisvektoren mit dem Gesagten zu tun?
die lin. Abbildung y = -2x ist eine Abbildungsfunktion die jedem
Vektor v seine Koordinaten bezueglich der Basis (bzgl. der beiden Basisvektoren) zuordnet.
4.
Was passiert mit dem Vektoren die in Richtung Spiegelachse zeigen?
sie werden gedreht (es wird eine rechtwinklige zur Achse gezeichnet und dann gespiegelt) , solche die senkrecht stehen gehen durch den Ursprung und sind um 180 Grad gedreht.
gruss
e.
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> 1. in der Vorlesung war dran:
> Lin. Abbildung, Basen, Dimensionen,
> Vektorraeume,Unterrvektorraum,
> Bildraum, kan. Basisvektoren, Abbildung des
> Vektorraums....
Hallo,
und ich denke, daß Ihr auch über die Matrizen, welche lineare Abildungen bzgl vorgegebener Basen darstellen, gesprochen habt. Richtig?
>
> 2. Richtungsvektor:
> 0 = y+ 2x
> v [mm]=\vektor{1\\
2}[/mm]
Nicht ganz. Ein Richtungsvektor der Geraden ist [mm] \vektor{1\\-2}.
[/mm]
Prüfe, daß das stimmt, im Zweifelsfalle an einer Skizze.
>
> 3. Was haben die beiden Basisvektoren mit dem Gesagten zu
> tun?
> die lin. Abbildung y = -2x ist eine Abbildungsfunktion die
> jedem
> Vektor v seine Koordinaten bezueglich der Basis (bzgl. der
> beiden Basisvektoren) zuordnet.
Hm. f(x)=-2x ist zwar eine lineare Abbildung, aber sie geht aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR. [/mm]
Es interessiert hier auch mehr der Graph dieser Abbildung, die Gerade.
Sie hat den Richtungsvektor [mm] \vektor{1\\-2}, [/mm] und es geht ja in Deiner Aufgabe um etwas ganz Anschauliches: um die Spiegelung an dieser Geraden.
Du sollst diese Spiegelung ja bzgl einer bestimmten Basis beschreiben, und ich will von Dir wissen: was hat diese gegebene Basis mit dem Richtungsvektor Deiner Spiegelgeraden zu tun?
>
> 4.
> Was passiert mit dem Vektoren die in Richtung Spiegelachse
> zeigen?
> sie werden gedreht
Nein. Die, die in Richtung Speigelachse zeigen, werden gar nicht verändert. Sie behalten Länge und Richtung unverändert bei.
>
> (es wird eine rechtwinklige zur Achse
> gezeichnet und dann gespiegelt) , solche die senkrecht
> stehen gehen durch den Ursprung und sind um 180 Grad
> gedreht.
Ja, die zur Spiegelachse senkrechten "klappen um", werden also auf das Negative ihrer selbst abgebildet.
Woarauf wird der erste der gegebenen Basisvektoren bei der Spiegelung abgebildet?
Worauf der zweite?
Wenn man das weiß, ist man dicht an der Darstellungsmatrix bzgl dieser Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 30.11.2010 | | Autor: | lisa11 |
so wie ich das jetzt verstehe kann man die Basisvektoren einzeichnen und
spiegeln dann ihre gespiegelten Koordinaten ansehen und aus dem die Matrix erstellen?
Gruss
E.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 30.11.2010 | | Autor: | lisa11 |
hier liegt ein Basisvektor direkt auf der Geraden also der Basisvektor
[mm] \vektor{1\\-2} [/mm] der andere wird gespiegelt, oder sehe ich das Falsch?
Jetzt muss ich die Koordinaten der Spiegelung ablesen?
von [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] ist der gespiegelte [mm] \vektor{-1\\2}
[/mm]
von [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] ist der gespiegelte [mm] \vektor{-0.5\\-2}
[/mm]
diese Vektoren lassen sich dann als Matrix schreiben.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 30.11.2010 | | Autor: | lisa11 |
die gespiegelten Vektoren sind [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] und [mm] \vektor{-2\\1}
[/mm]
das Matrixprodukt der Spiegelung ist:
sb(x,y) = [mm] \pmat{-1 & -2\\2 & 1}*\vektor{x\\y}
[/mm]
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> die gespiegelten Vektoren sind [mm]\vektor{2\\
-1}[/mm] und
> [mm]\vektor{-2\\
1}[/mm]
>
> das Matrixprodukt der Spiegelung ist:
>
> sb(x,y) = [mm]\pmat{-1 & -2\\
2 & 1}*\vektor{x\\
y}[/mm]
EDITIERT: Dies Antwort bezieht sich auf eine von der Aufgabenstellung abweichende Basis!
Hallo,
die Beantwortung Deiner "Fragen" ist etwas unbehaglich für potentielle Antwortgeber, da Du zwar Deine Ergebnisse preisgibst, aber von dem Gedankengang, mit welchem Du darauf gekommen bist, nichts verrätst.
Zu bearbeiten war hier die Spiegelung s an einer Ursprungsgeraden mit dem Richtungsvektor [mm] \vektor{1\\-2}.
[/mm]
Gesucht war die darstellende Matrix dieser Spiegelung bzgl. der Basis B mit
[mm] B:=(v_1:=$ \vektor{1\\-2},v_2:=\vektor{2\\ 1} [/mm] $).
Wir hatten bereits festgestellt: [mm] v_1 [/mm] ist in Richtung Spiegelachse, [mm] v_2 [/mm] ist senkrecht dazu.
Weiter hatten wir überlegt: bei Spiegelungen bleiben Vektoren in Richtung der Spiegelachse erhalten, werden also auf sich selbst abgebildet, Vektoren, die senkrecht zur Spiegelachse sind, "klappen um", werden also auf ihr Negatives abgebildet.
Du wirfst nun oben einfach zwei Vektoren in den Raum.
Es wäre schon passend, würdest Du sagen, welcher das Bild von welchem sein soll - es soll doch kein Ratespiel für Helfer werden, oder?
Also
[mm] s(v_1)= [/mm] ???
[mm] s(v_2)= [/mm] ???
Zum Aufstellen der Matrix:
gefordert ist die Darstellungsmatrix bzgl. B.
Um diese aufstellen zu können, mußt Du die Bilder der Basisvektoren von B als Koordinatenvektoren von B schreiben.
Überleg Dir dazu zuvor dies:
[mm] f(v_1)=...v_1+...v_2=\vektor{...\\...}_{(B)}
[/mm]
[mm] f(v_2)=...v_1+...v_2=\vektor{...\\...}_{(B)}
[/mm]
Die Koordinatenvektoren bekommst Du, indem Du die Koeffizienten in einen Vektor "stapelst".
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:38 So 05.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
s(v1) = [mm] \vektor{-1\\2}
[/mm]
s(v2) [mm] =\vektor{-2\\1}
[/mm]
f(v1) = [mm] \vektor{-1\\2}
[/mm]
[mm] f(v2)=\vektor{-2\\1}
[/mm]
f(v1,v2) = [mm] \pmat{-1 & -2\\2& 1}
[/mm]
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Hallo,
> wie gegeben
> s(v1) = [mm]\vektor{-1\\
2}[/mm]
> s(v2) [mm]=\vektor{-2\\
1}[/mm]
>
> f(v1) = [mm]\vektor{-1\\
2}[/mm]
> [mm]f(v2)=\vektor{-2\\
1}[/mm]
Ich blicke nicht richtig durch hier:
was sind bei Dir jetzt [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] was meinst Du mit s und was mit f?
Kannst Du nochmal die Aufgabenstellung im Eingangspost überprüfen?
Sind die Basisvektoren (inkl. Vorzeichen) wirklich so, wie angegeben?
Ich müßte diese Antwort in jedem Fall etwas überarbeiten, dort ist etwas verkehrt.
Damit warte ich aber, bis Du die Aufgabenstellung bestätigst oder korrigierst.
>
> f(v1,v2) = [mm]\pmat{-1 & -2\\
2& 1}[/mm]
Falls das die Matrix der Spiegelung bzgl der Basis [mm] B=(v_1, v_2) [/mm] sein soll: daß die Einträge in Koordinaten bzgl [mm] B=(v_1, v_2) [/mm] sein müssen, hatte ich ja in meiner Antwort gesagt. So ist das nicht richtig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Mo 06.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
die Aufgabenstellung ist schon richtig als Teilaufgabe b) kommt noch dazu,
dass man die Spieglung als Matrixprodukt schreiben soll.
in Teilaufgabe a) heisst es nur : Beschreiben Sie die Spiegelung sb in
den Koordinaten bzgl. der Basis.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Mo 06.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Aufgabe wie oben Basisvektoren sind
[mm] \vektor{1\\-2},\vektor{2\\-1} [/mm] |
sb ist eine Spiegelung vom Vektor
(ich meine damit den gespiegelten Punkt)
[mm] sb\vektor{1\\-2} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\2}
[/mm]
[mm] sb\vektor{2\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{-2\\1} [/mm] (damit meine ich gespiegelter Punkt)
damit meine ich den gespiegelten neuen Punkt ich weiss nicht ob man das so darstellen darf.
Bei dem Matrixprodukt der Spiegelung
wuerde ich schreiben:
sb(x,y) = [mm] \pmat{-1 & -2\\ 2 & 1} *\vektor{x\\y }
[/mm]
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> Aufgabe wie oben Basisvektoren
von B
> sind
>
> [mm]\vektor{1\\
-2},\vektor{2\\
-1}[/mm]
Hallo,
schade, es hätte alles so schön sein können, wenn es so gewesen wäre, wie ich es mir gewünscht hätte...
Na, egal, wir können trotzdem etwas von dem zehren, was wir schon besprochen hatten:
Der Vektor [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] ist in Richtung Spiegelachse, er wird also bei der Spiegelung auf sich selbst abgebildet.
>
> sb ist eine Spiegelung vom Vektor
> (ich meine damit den gespiegelten Punkt)
> [mm]sb\vektor{1\\
-2}[/mm] = [mm]\vektor{-1\\
2}[/mm]
Ja, ich verstehe.
Aber das ist falsch:
da [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] in Richtung Spiegelachse ist,wird er bei der Spiegelung auf sich selbst abgebildet.
Überleg's Dir, indem Du einen Pfeil auf die Spiegelgerade malst.
Richtig ist also
[mm]sb\vektor{1\\
-2}[/mm] = [mm]\vektor{1\\
-2}[/mm].
>
> [mm]sb\vektor{2\\
-1}[/mm] = [mm]\vektor{-2\\
1}[/mm] (damit meine ich
> gespiegelter Punkt)
Nein, das ist falsch.
Auf ihr Negatives werden abgebildet Vektoren, die senkrecht zur Spiegelachse sind, was aber auf [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] nicht zutrifft. Leider...
Man muß sich hier etwas anstrengen, um das Bild zu finden.
Man kann es so machen:
schreibe [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] und [mm] \vektor{2\\1} [/mm] und verwende dann die Linearität der Abbildung.
So:
[mm] \vektor{2\\-1}=\bruch{4}{5}\vektor{1\\-2}+\bruch{3}{5}\vektor{2\\1},
[/mm]
also ist
[mm] sb\vektor{2\\-1}=sb(\bruch{4}{5}\vektor{1\\-2}+\bruch{3}{5}\vektor{2\\1})=\bruch{4}{5}sb(\vektor{1\\-2})+\bruch{3}{5} sb(\vektor{2\\1})= [/mm] ...+ ...= ...
Wenn das fertig ist, haben wir im Idealfall die Bilder von [mm]\vektor{1\\
-2} und \vektor{2\\
-1}[/mm], allerdings in Koordinaten bzgl der Standardbasis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Da aber gefordert ist, die Abbildungsmatrix bzgl B anzugeben, brauchen wir die Koordinatenvektoren bzgl. B. Es müssen beide Bilder noch als Linearkombination von [mm]\vektor{1\\
-2} und \vektor{2\\
-1}[/mm] geschrieben werden, und daraus dann die Koordinatenvektoren gewonnen:
Wir hatten
[mm] sb\vektor{1\\-2}[/mm] [mm] = [/mm][mm] \vektor{1\\-2}$.
[/mm]
Nun schreiben wir
[mm] sb\vektor{1\\-2}[/mm] [mm] = [/mm][mm] \vektor{1\\-2}$=\red{1}*\vektor{1\\-2} [/mm] + [mm] \red{0}*\vektor{2\\-1}=\green{\vektor{1\\0}_{(B)}}.
[/mm]
Dieser Vektor ist die erste Spalte der gesuchten Matrix.
Dasselbe Spielchen dann noch mit
[mm] sb(\vektor{-2\\1})= [/mm] ... = [mm] ...*\vektor{1\\-2}+ ...*\vektor{-2\\1}=\grenn\vektor{...\\...}_{(B)}.
[/mm]
> damit meine ich den gespiegelten neuen Punkt ich weiss
> nicht ob man das so darstellen darf.
>
> Bei dem Matrixprodukt der Spiegelung
>
> wuerde ich schreiben:
>
> sb(x,y) = [mm]\pmat{-1 & -2\\
2 & 1} *\vektor{x\\
y }[/mm]
Das ist u.a. deshalb nicht richtig, weil in der Aufgabenstellung die Matrix bzgl. der Basis B gefordert wurde.
Wir brauchen die Koordinatenvektoren der Bilder bzgl. B.
So, ich hoffe, daß ich diesmal nichts verdreht habe. Die sehr ähnlichen Vektoren sind etwas anstrengend.
Konzentriere auch Du Dich sehr gut.
Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:03 Mo 06.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
der 2. Vektor ist der gespiegelte Punkt [mm] \vektor{2\\-1}
[/mm]
ich schreibe :
[mm] sb\vektor{-2\\1} [/mm] = 0 * [mm] \vektor{1\\-2}+ [/mm] 1 * [mm] \vektor{-2\\1} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1}
[/mm]
somit habe ich als gespiegelte Matrix
[mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
so ich hoffe das ist richtig verstanden
gruss
lisa
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:09 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
kann das sein, dass ich dies richtig geloest habe?
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> aufgabe wie oben
> kann das sein, dass ich dies richtig geloest habe?
Hallo,
Du hast es nicht richtig gelöst.
Ich habe wirklich gerade keinen Nerv es zu korrigieren, weil ich schon wieder den Eindruck habe, daß Du meine Antwort, die den Weg zur Lösung detailliert beschreibt, nur angeguckt, aber nicht richtig studiert hast.
Das ist für mich, die ich Dir wirklich helfen wollte, frustrierend.
Du kannst also davon ausgehen, daß mein Frust mindestens so groß ist wie Deiner im Moment - und zusätzlich habe ich ein wenig das Gefühl (!), daß ich viel mehr Zeit mit Deiner Aufgabe und Deinen Problemen verbracht habe als Du.
Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
der zweite Basisvektor ist falsch der sollte [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] heissen !!!!!
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> so wie ich das jetzt verstehe kann man die Basisvektoren
> einzeichnen und
> spiegeln dann ihre gespiegelten Koordinaten ansehen und
> aus dem die Matrix erstellen?
Hallo,
eine Zeichnung oder Skizze ist jedenfalls eine gute Idee zum Begreifen dessen, was bei der Spiegelung passiert.
Für die Matrix brauchst Du die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl. dieser Basis. S. dazu meine andere Antwort.
Gruß v. Angela
>
> Gruss
> E.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
der Vektor [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] steht senkrecht zur Spiegelachse also
klappt er um zu [mm] \vektor{2\\-1}
[/mm]
der Vektor [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] steht nicht senkrecht zur Spiegelachse also
bleibt er und ist [mm] \vektor{2\\-1}
[/mm]
habe ich dies so richtig verstanden?
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> Aufgabe wie oben
> der Vektor [mm]\vektor{1\\
-2}[/mm] steht senkrecht zur Spiegelachse
Hallo,
nein!
Er ist in Richtung der Spiegelachse - jedenfalls wenn mit der Aufgabenstellung alles i.O. ist.
Die Gerade war doch y=-2x.
> der Vektor [mm]\vektor{2\\
-1}[/mm] steht nicht senkrecht zur
> Spiegelachse
(leider...)
> also
> bleibt er
???
Bleiben tun die, die in Richtung Spiegelachse sind.
Aber neben "in Richtung Spiegelachse" und "senkrecht dazu" gibt's ja noch 'nen paar andere Richtungen, und wie man hier das Bild bestimmen kann, nämlich durch Zerlegung in einen Teil in Richtung Spiegelachse und einen senkrecht dazu, hatte ich ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. 743080 (fehlt/gelöscht)] erklärt.
Es kann ja sein, daß Ihr in Eurer Vorlesung solche Aufgaben komplett anders löst - aber um das zu erfahren, wäre mal ein Dialog vonnöten, in welchem Du ein wenig preisgibst von dem, was Du in der Vorlesung oder im Eigenstudium lernst. Nur dann kann man darauf eingehen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
wir haben das in der Vorlesung nicht so genau durchgenommen wie Sie mich fragen wir haben nur Saetze aufgeschrieben deshalb ist es schwierig
gut also [mm] \vektor {1\\-2} [/mm] bleibt da er in Richtung der Spiegelachse geht
somit ist der gespiegelte [mm] \vektor{1\\-2}
[/mm]
der andere Vektor bleibt nicht er wird geklappt
[mm] \vektor{2\\-1} [/mm] als gespiegelter [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] so verstehe ich das jetzt
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> gut also [mm]\vektor {1\\
-2}[/mm] bleibt da er in Richtung der
> Spiegelachse geht
> somit ist der gespiegelte [mm]\vektor{1\\
-2}[/mm]
Ja, so ist es.
>
> der andere Vektor bleibt nicht er wird geklappt
> [mm]\vektor{2\\
-1}[/mm] als gespiegelter [mm]\vektor{1\\
-2}[/mm] so verstehe
> ich das jetzt
Ich kriege 'nen Schreikrampf!
Neiiiiiiiiiiin!!!!
Ich gebe ja zu und streue deshalb Asche eimerweise auf mein Haupt, daß ich in einer ersten Schusseligkeit auch gedacht und geschrieben habe, daß [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] senkrecht zur Spiegelachse ist - aber ich habe doch jetzt wohl wirklich oft genug gesagt, daß das nicht der Fall ist. das entsprechende Post ist längst korrigiert.
Du kannst es, wen nDu es nicht glaubst, ja nachrechnen, und falls das Rechnen nicht so Dein Ding ist: ein Bildchen wird ja drin sein...
Wie man nun das Bild von [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] bekommen kann - habe ich doch erklärt.
Aber mal was ganz anderes.
Thema: Umklappen
Wenn ich z.B. den Vektor [mm] \vektor{2\\5} [/mm] habe, und dieser "umklappt" in die entgegengesetzte Richtung, welchen Vektor bekomme ich dann? das scheint ja auch nicht so recht klar zu sein, wenn ich mir so anschaue, was Du oben schreibst.
Mach Dir doch mal ein Bildchen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
wenn ich dies umklappe bekomme ich
[mm] \vektor{-2\\-5}
[/mm]
Mache ich dies jetzt auch so mit dem anderen Vektor?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
nach dem Schreikrampf bleibt der andere in diesem Fall auch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
die Basis der Aufgabenstellung ist falsch darum ging das nicht
es sollte heissen fuer die Basis
[mm] \vektor{1\\-2} \vektor{2\\-1} [/mm] laut Aufgabenstellung!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
die zweite Basis der Aufgabenstellung ist falsch
es heisst [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] bitte schauen sie sich das an!!!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
dies oben sollte eine Frage sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lisa!
Ich habe von dieser Aufgabe keine Ahnung und kann Dir da auch leider nicht weiterhelfen.
Aber selbst wenn ich das könnte, würde ich es mir stark überlegen. Denn allein schon den Durchblick in diesem Thread zu behalten, erfordert fast ein eigenständiges Studium.
Und immer wieder dieselbes oder kleingehackte Fragen quer über den Thread zu verteilen, bringt auch nichts.
Schreibe lieber in einem Post mal die vollständige und korrekte Aufgabenstellung hin mit Deinem gesamten Lösungsweg, so dass man alles beisammen hat und sich nicht quer durch den Thread suchen muss.
Gruß
Loddar
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> die zweite Basis der Aufgabenstellung ist falsch
> es heisst [mm]\vektor{2\\
-1}[/mm] bitte schauen sie sich das an!!!!!
Was ist jetzt kaputt?
In der mir bekannten Aufgabenstellung sind die Basisvektoren [mm] \vektor{1\\-2} [/mm] und [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] gegeben.
Du sagst jetzt gerade nichts anderes - oder bin ich jetzt komplett wirr?
(Ich kann's nicht ganz ausschließen.)
Ich habe in einem Post für die Basis [mm] \vektor{1\\-2}, \vektor{2\\1} [/mm] geantwortet - dies habe ich gekennzeichnet. (Es dürfte übrigens trotzdem lehrreich sein.)
Hier verwende ich doch die richtige Basis. (?)
Oder ist irgendwas verkehrt? Das kann natürlich immer mal passieren, da ich auch nicht vor Unkonzentriertheit, Verwirrtheit, mangelndem Rechenvermögen und genereller Dummheit gefeit bin. Dann solltest Du mich gezielt daraufhinweisen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
nichts ist kaputt jetzt sehe ich es erst beim zweiten mal verwenden sie die richtige Basis ich bin jetzt draufgekommen das der Vektor bleibt
sb [mm] \vektor{2\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-1} [/mm]
= 4/5 [mm] *\vektor{1\\-2} [/mm] + [mm] 3/5*\vektor{2\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-1}
[/mm]
dann habe ich den 2. Spaltenvektor [mm] \vektor{4/5\\3/5}
[/mm]
und fuer die Abbildungsmatrix
[mm] \pmat{1 & 4/5\\0 & 3/5}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
> sb [mm]\vektor{2\\
-1}[/mm] = [mm]\vektor{2\\
-1}[/mm]
das ist falsch und angela hat dir das n mal n>3 gesagt. hast du den Vektor mal gezeichnet, und die Gerade, und das Spiegelbild?
> = 4/5 [mm]*\vektor{1\\
-2}[/mm] + [mm]3/5*\vektor{2\\
-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{2\\
-1}[/mm]
das ist grausig. und falsch und sinnlos du kannst nicht einen Basisvektor durch einen anderen darstellen!
>
> dann habe ich den 2. Spaltenvektor [mm]\vektor{4/5\\
3/5}[/mm]
>
> und fuer die Abbildungsmatrix
>
> [mm]\pmat{1 & 4/5\\
0 & 3/5}[/mm]
Bestimme erstm al wirklich das Spiegelbild von [mm] $\vektor{2\\-1}$
[/mm]
darum geht es jetzt schon viele posts lang, auf die du nicht wirklich reagierst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
ja gut wie bestimme ich diesen Vektor wenn er nicht auf der Spiegelachse liegt?
ich habe keine Ahnung um wieviel Grad der gedreht wird...
wenn ich den Spiegelpunkt habe kann ich mit Hilfe der Basisvektoren die
Koordinaten bestimmen das sehe ich im Satz der aufgeschrieben ist.
Ist der Vektor um den Nullpunkt um 180 Grad gedreht die Gerade geht durch den Nullpunkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
kann es sein das der Vektor (Rotation um 90 Grad im negativen Sinne?)
[mm] \vektor{-1\\-2} [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du rätst rum und kannst keine Zeichnung vor dir haben!
angela hat dir in nem früheren post ne methode gesagt, darauf bist du nie eingegangen. die Schulmethode wäre von (2,-1) ne Senkrechte auf y=-2x und sie zur anderen Seite um das gleiche Stüch verlängern oder eben angelas Methode. 3. exakte Winkel bestimmen und den winkel spiegeln.
aber rumraten ohne begründung bringt nichts. auch ich habe keine lust auf antworten mehr, wenn du einfach nen (geratenen?) Vektor hinschreibst, sag was du dabei gedacht oder gerechnet hast. und ob du dir dein Ergebnis in ner Zeichnung angesehen hast.
warum etwa soll ne 90° Drehung an y=-2x spiegeln?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
gut jetzt habe ich eine Zeichunung gemacht und bekommen
[mm] \vektor{-1\\-1.5}
[/mm]
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> wie oben
> gut jetzt habe ich eine Zeichunung gemacht und bekommen
>
> [mm]\vektor{-1\\
-1.5}[/mm]
Hallo,
das ist nicht richtig.
Kannst Du Deine Zeichnung hier einscannen?
Dann könnten wir sehen, woran es liegt.
Wie man spiegelt, weißt Du?
Ist Dir klar, daß die Spiegelgerade durch den Ursprung läuft?
Kannst Du einen weiteren Punkt sagen, durch den die Spiegelgerade geht?
Dann könnten wir mal sehen, ob diese überhaupt stimmt in Deiner Zeichnung.
Gruß v. Angela
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
anbei meine Zeichnung ich finde den Fehler nicht!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine rote Gerade hat etwa die Gleichung y=+0,5x
der ton tut mir leid, aber du gehst so wenig auf Ratschläge ein, dass man nicht vermuten kann, dass du ein "älteres" Semester bist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
gut ich habe das nochmals versucht und bekomme
[mm] \vektor{1/4\\-7/2}
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
falsch
kannst du leicht sehen, denn der Gespiegelte Vektor muss ja dieselbe länge haben. Angela hat dir nen Weg angegeven, ich weitere 2um den gesp. Vektor zu finden. eine zeichnung allein hilft nur um grobe fehler zu vermeiden.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:16 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
ich habe die x - Achse falsch rausgelesen und verbessert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist die Frage und wo und was hast du verbessert ?
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:15 Mi 08.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
ich habe das oben verbessert und lasse es ich komme mit Ihnen nicht weiter ich finde es bedauerlich das sie keine Hilfestellung geben koennen nicht mal eine Richtung damit das Resultat richtig ist...
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> ich habe das oben verbessert und lasse es ich komme mit
> Ihnen nicht weiter ich finde es bedauerlich das sie keine
> Hilfestellung geben koennen nicht mal eine Richtung damit
> das Resultat richtig ist...
Hallo,
schade, daß ich das erst jetzt lese - ich hätte mir mein gerade abgeschicktes Post nämlich sonst verkniffen und lieber mit Abraxas Transparentsterne gebastelt...
Wie soll denn eine sinnvolle Hilfe, die Dir zuteil wird, Deiner Meinung nach aussehen? Wie könnten wir Dir besser helfen?
Ich versuche Dir hier ja seit geraumer Zeit zu helfen,
und bei leduart kann ich auch nichts anderes feststellen.
Daß Du meist so knapp und undeutlich formulierst, daß wir nicht gut verstehen, was Du tust oder meinst, und nachfragen müssen, liegt eher nicht an uns, ebenso, daß Du Hinweise und Aufforderungen oftmals ignorierst.
Möglicherweise ist die Schriftform nicht die Kommunikationsform, die Dir liegt, und ein Gespräch mit Kommilitonen oder Dozenten wäre effektiver.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Mi 08.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Aufgabe wie oben mit Berechnung des Spiegelpunktes nach der
Schulmethode |
Spiegelpunkt von (2/-1)
ich habe jetzt den Spiegelpunkt nach der Schulmethode gerechnet mit:
y = mx+ d
m1 = -2
d1 = 0
m2 = -(1/m1)
m2 = -1/-2 = 0.5
ich stelle die Gleichung fuer h auf:
h = 0.5x + d2
ich bekomme fuer d2 --> -2
die Gleichung der othogonalen ist
y = 0.5x -2
Schnittpunkt der Geraden
y = -2x + 0
y = 0.5x -2
somit habe ich fuer x = 0.8 und fuer y = -1.6
der Schnittpunkt ist somit
S (0.8/-1.6)
Berechnung des gespiegelten Punktes:
Schnittpunkt der Geraden zum Punkt (2/-1)
Abstand in x Richtung : 2 - 0.8 = 1.2
Abstand in y Richtung: -1 - (-1.6) = 0.6
Berechung des gespiegelten Punktes:
x Richtung : 0.8 - 1.2 = -0.4
y Richtung : - 1.6 - (0.6) = - 2.2
Koordinaten des gespiegelten Punktes:
A ' (-0.4/-2.2)
habe ich einen Fehler gemacht?
von dem gespiegelten Punkt rechne ich dann weiter...
Gruss
e.w.
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> Aufgabe wie oben mit Berechnung des Spiegelpunktes nach der
> Schulmethode
> Spiegelpunkt von (2/-1)
> ich habe jetzt den Spiegelpunkt nach der Schulmethode
> gerechnet mit:
>
> y = mx+ d
> m1 = -2
> d1 = 0
>
> m2 = -(1/m1)
> m2 = -1/-2 = 0.5
>
> ich stelle die Gleichung fuer h auf:
> h = 0.5x + d2
>
> ich bekomme fuer d2 --> -2
>
> die Gleichung der othogonalen ist
>
> y = 0.5x -2
>
> Schnittpunkt der Geraden
> y = -2x + 0
> y = 0.5x -2
>
> somit habe ich fuer x = 0.8 und fuer y = -1.6
> der Schnittpunkt ist somit
> S (0.8/-1.6)
>
> Berechnung des gespiegelten Punktes:
> Schnittpunkt der Geraden zum Punkt (2/-1)
>
> Abstand in x Richtung : 2 - 0.8 = 1.2
> Abstand in y Richtung: -1 - (-1.6) = 0.6
>
> Berechung des gespiegelten Punktes:
> x Richtung : 0.8 - 1.2 = -0.4
> y Richtung : - 1.6 - (0.6) = - 2.2
>
> Koordinaten des gespiegelten Punktes:
> A ' (-0.4/-2.2)
>
> habe ich einen Fehler gemacht?
Hallo,
ich habe keinen entdeckt, und das, was Du errechnet hast, deckt sich mit meiner Skizze.
Du weißt nun
[mm] s(\vektor{2\\-1})=\vektor{-0.4\\-2.2}.
[/mm]
Nun muß dieser in Koordinaten bzgl. der Basis B umgewandelt werden.
Gruß v. Angela
>
> von dem gespiegelten Punkt rechne ich dann weiter...
>
> Gruss
> e.w.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Mi 08.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | | Umrechnen des Spiegelpunktes bezueglich der Basis |
Umrechnung des Punktes bezueglich der Basis
s(b2) = [mm] x*\vektor{1\\-2} [/mm] + [mm] y*\vektor{2\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{-0.4\\ -2.2}
[/mm]
-> x = 8/5
-> y = -1
somit habe ich
s(b2) = 8/5 * b1 -1* b2 = [mm] \vektor{8/5\\-1}
[/mm]
die Abbildungsmatrix ist somit
[mm] \pmat{1 & 8/5 \\ 0 & -1}
[/mm]
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> Umrechnen des Spiegelpunktes bezueglich der Basis
>
> Umrechnung des Punktes bezueglich der Basis
>
>
>
> s(b2) = [mm]x*\vektor{1\\
-2}[/mm] + [mm]y*\vektor{2\\
-1}[/mm] =
> [mm]\vektor{-0.4\\
-2.2}[/mm]
>
> -> x = 8/5
> -> y = -1
>
> somit habe ich
>
> s(b2) = 8/5 * b1 -1* b2 = [mm]\vektor{8/5\\
-1}[/mm]
>
> die Abbildungsmatrix ist somit
>
> [mm]\pmat{1 & 8/5 \\
0 & -1}[/mm]
Hallo,
ja, völlig richtig.
Kannst Du mal das Geheimnis lüften, warum vorher Drama war und jetzt klappt's plötzlich wie am Schnürchen?
Du bist ein Miraculum.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:52 Mi 08.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
ja ich habe mich schlau gemacht aus dem Gesagten und stueckchenweise mitbekommen was falsch war vorallem habe ich nicht spiegeln koennen
und das haben ich nachgeschaut den Rest hatte ich verstanden...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, MACH ENDLICH NE ZEICHNUNG
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Di 07.12.2010 | | Autor: | lisa11 |
ich mache jetzt eine Zeichung und schaue mir das an anscheinend ist die
Gerade falsch gezeichnet der Umgangston von Ihnen hier ist erschreckt
passt nicht auf eine Hochschule ich bin ein aelters Semester...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Di 30.11.2010 | | Autor: | lisa11 |
ich glaube meine Antwort war eher das Matrixprodukt der Spiegelung das
man beschreiben soll mit
sb(x,y) = [mm] A\vektor{x\\y}
[/mm]
so wie ich das sehe muss man die Basisvektoren einzeichen und dann ueber eine Spiegelachse von 45 Grad drehen nicht?
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Hallo,
so, bevor das hier jetzt weiter ausufert, werde ich eine ähnliche Beispielaufgabe vorrechnen, an welcher Du, Lisa11, Dich für die Lösung Deiner Aufgabe orientieren kannst.
Betrachte die Spiegelung s an der Geraden y= 5x
Beschreibe die Spiegelung s in Koordinaten
bezueglich der Basis
[mm] B:=\{ b_1:=\vektor{1\\ 5}, b_2:=\vektor{13\\ 13}\}.
[/mm]
Um diese Aufgabe zu lösen benötigt man die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B.
Lösungsmöglichkeiten:
A.
Spiegelungen kann man sehr einfach beschreiben, wenn man eine Basis verwendet, die zur Geometrie paßt.
Da Vektoren in Richtung der Spiegelachse auf sich selbst abgebildet werden und solche senkrecht zur Achse auf ihr Negatives, bietet sich hier die Basis [mm] C:=(c_1:=\vektor{1\\5},c_2:=\vektor{5\\-1}) [/mm] an.
[mm] c_1 [/mm] ist in Richtung der Achse, [mm] c_2 [/mm] senkrecht dazu.
Es ist
[mm] s(c_1)=c_1,
[/mm]
[mm] s(c_2)=-c_2.
[/mm]
Ich interessiere mich nun für die Bilder der Basisvektoren von B.
Diese schreibe ich erst als Linearkombination von [mm] c_1, c_2, [/mm] weil die Bestimmung des Bildes mir so leichter gelingt:
[mm] b_1=1*c_1
[/mm]
[mm] b_2=3*c_1+5*c_2.
[/mm]
Aufgrund der Linearität von s ist
[mm] s(b_1)=s(1*c_1)=s(c_1)=c_1=\vektor{1\\5}
[/mm]
[mm] s(b_2)=s(3*c_1+2*c_2)=3*s(c_1)+2*s(c_2)=3*\vektor{1\\5}-2*\vektor{5\\-1}=\vektor{-7\\17}.
[/mm]
Wir haben jetzt die Bilder von [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] in Standardkoordinaten.
Aufgrund der Aufgabenstellung wollen wir aber die Bilder in Koordinaten bzgl B.
Dazu müssen wir die Bilder von B-1 und [mm] b_2 [/mm] als Linearkombination von B-1, [mm] b_2 [/mm] schreiben:
[mm] s(b_1)=\vektor{1\\5}=1*b_1+0*b_2=\vektor{1\\0}_{(B)},
[/mm]
[mm] s(b_2)=\vektor{-7\\17}=\bruch{107}{33}b_1+\bruch{-16}{33}b_2=\vektor{\bruch{107}{33}\\\bruch{-16}{33}}_{(B)}.
[/mm]
Die Spaltenvektoren am Ende sind die Koordinatenvektoren bzgl B.
Packen wir sie in eine Matrix, so haben wir nun die Darstellungsmatrix von s bzgl der Basis B.
In ihren Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B.
[mm] M_B(s)=\pmat{1&\bruch{107}{33}\\0&\bruch{-16}{33}}.
[/mm]
Dies war der Weg, auf welchen und auf welchem ich versucht habe, Dich zu leiten.
Andere Möglichkeiten:
B.
Aus dem, was ich oben schrieb, ergibt sich, daß die Darstellungsmatrix von s bzgl der besonders geeigneten Basis C lautet:
[mm] M_C(s)=\pmat{1&0\\0&-1}.
[/mm]
Mit Hilfe der Basistransformationsmatrizen [mm] T^B_C [/mm] und [mm] T^C_B [/mm] für die Übergänge von B nach C und umgekehrt kann man [mm] M_B(s) [/mm] wie folgt errechnen:
[mm] M_B(s)=TC_B*M_C(s)*T^B_C.
[/mm]
Wegen
[mm] b_1=1*c_1=\vektor{1\\0}_{(C)}
[/mm]
[mm] b_2=3*c_1+5*c_2=\vektor{3\\2}_{(C)}
[/mm]
ist [mm] T^B_C=\pmat{1&3\\0&2},
[/mm]
[mm] T^C_B [/mm] ist die Inverse davon.
Wenn ich nirgendwo falsch gerechnet habe, dann kommt natürlich für [mm] M_B(s) [/mm] dieselbe Matrix heraus wie bei Lösungsvorschlag A.
C.
In der Schule löst man die Aufgabe meist so:
die Gerade, an welcher gespiegelt wird, ist die Gerade [mm] g:\vec{x}=\lambda\vektor{1\\5}.
[/mm]
Wenn ein Punkt, etwa [mm] P(13\\13) [/mm] hieran gespiegelt werden soll, legt man durch diesen eine zu g senkrechte Gerade [mm] h_P [/mm] und berechnet den Schnittpunkt F der beiden Geraden. [mm] \overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{PF} [/mm] ist dann der Orstvektor des Bildes von P.
An einer Zeichung kannst Du Dir das klarmachen.
Ich bekomme hier F(3|15), und somit für das Bild von P den Punkt P'(-7|17).
Also ist [mm] s(\vektor{13\\13})=\vektor{-7\\17}.
[/mm]
Da die Aufgabe die Darstellung bzgl der Basis B ist, muß man diesen nun wieder als Koordinatenvektor bzgl. B schreiben, das habe ich ja im anderen Vorschlag vorgemacht.
Auf das Bild des Vektors [mm] \vektor{1\\5} [/mm] bzw. des Punktes Q(1|5) muß ich sicher nicht weiter eingehen. Der Punkt liegt ja auf der Geraden.
D.
Vorgehensweise mithilfe des Steigungswinkels der Spiegelachse und der Spiegelungsmatrix:
Die Gerade g schließt mit der x-Achse den Winkel [mm] \alpha [/mm] ein.
Es ist [mm] tan\alpha=5 [/mm] ==> [mm] \alpha[red]\approx[/red] [/mm] 79°.
Die Matrix, die diese Spiegelung in Koordinaten bzgl der Standardbasis beschreibt, ist die Matrix
[mm] \pmat{cos(2*79°)&sin{2*79°}\\sin{2*79°}&-cos(2*79°)}.
[/mm]
Durch Multiplikation mit [mm] \vektor{13\\13} [/mm] bekommst Du dessen Bild in Standardkoordinaten, welches dann wieder lt. Aufgabenstellung umzuwandeln ist in Koordinaten bzgl. C.
Oder Du arbeitest mit den Transformationsmatrizen für den übergang von B zur Standardbasis und umgekehrt - aber ich führe das nicht weiter aus, weil ich überhaupt nicht weiß, ob das schon dran war.
E.
Eine weitere Idee wäre, wenn Du Dir überlegst, daß [mm] b_2 [/mm] mit [mm] b_1 [/mm] denselben Winkel einschließt wie [mm] b_1 [/mm] mit [mm] s(b_2). [/mm] Auch auf diesem Weg kannst Du zum Bild von [mm] b_2 [/mm] kommen - welches aber lt. Aufgabenstellung dann noch in Koordinaten bzgl. C benötigt wird.
Gruß v. Angela
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