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| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R2 mit dem Standardskalarprodukt
< [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}}, \vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm] >:= [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] * [mm] y_{2}
[/mm]
und die lineare Abbildung:
A: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}
[/mm]
[mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2}} \mapsto [/mm] A* [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2}}
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix A [mm] \in \IR^{2,2} [/mm] so, dass die zugehörige lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor v erzeugten Geraden beschreibt.
v= [mm] \vektor{2\\-4} [/mm] |
Ich komme da gerade nicht weiter.
Wir haben es bei Übungsaufgaben wie folgt gemacht.
Ich habe ersteinmal einen orthogonalen Vektor bestimmt, [mm] w=\vektor{2\\1}.
[/mm]
Anschließend habe ich die Einheitsvektoren [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] benutzt.
Also eine Linearkombination des Vektors v und w bezüglich der Einheitsvektoren.
komme dann also auf:
[mm] \vektor{1\\0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10} [/mm] * [mm] \vektor{2\\-4} [/mm] + [mm] \bruch{4}{10} [/mm] * [mm] \vektor{2\\1}
[/mm]
[mm] \vektor{0\\1} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{5} [/mm] * [mm] \vektor{2\\-4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * [mm] \vektor{2\\1} [/mm] ...
und von hier an komme ich nicht weiter, die Schritte wurden in der Übungsaufgabe leider auch nicht erklärt, sondern nur das Endergebniss wurde genannt.
Kann mir einer von euch vllt helfen?
Ich habe gesehen, dass hier schon solche Aufgaben gepostet wurden. Diese haben allerdings einen ganz anderen Weg, und ich wollte es gerne mal mit dem hier versuchen.
Wenn mir da einer helfen könnte, wäre ich euch sehr dankbar!
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> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum R2 mit dem
> Standardskalarprodukt
> < [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}}, \vektor{y_{1} \\ y_{2}}[/mm] >:=
> [mm]x_{1}[/mm] * [mm]y_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] * [mm]y_{2}[/mm]
>
> und die lineare Abbildung:
>
> A: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> [mm]\vektor{x_{1}\\ x_{2}} \mapsto[/mm] A*
> [mm]\vektor{x_{1}\\ x_{2}}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Matrix A [mm]\in \IR^{2,2}[/mm] so, dass die
> zugehörige lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom
> Vektor v erzeugten Geraden beschreibt.
>
> v= [mm]\vektor{2\\-4}[/mm]
> Ich komme da gerade nicht weiter.
Hallo,
sei s die Spiegelung.
Es ist s(v)=v.
>
> Wir haben es bei Übungsaufgaben wie folgt gemacht.
>
> Ich habe ersteinmal einen orthogonalen Vektor bestimmt,
> [mm]w=\vektor{2\\1}.[/mm]
Was passiert mit w bei der Spiegelung?
Er klappt um.
Also:
s(w)=-w
>
> Anschließend habe ich die Einheitsvektoren [mm]e_{1}[/mm] und [mm]e_{2}[/mm]
> benutzt.
> Also eine Linearkombination des Vektors v und w bezüglich
> der Einheitsvektoren.
Gut.
>
> komme dann also auf:
> [mm]\vektor{1\\0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{10}[/mm] * [mm]\vektor{2\\-4}[/mm] +
> [mm]\bruch{4}{10}[/mm] * [mm]\vektor{2\\1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{0\\1}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{5}[/mm] * [mm]\vektor{2\\-4}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{5}[/mm] * [mm]\vektor{2\\1}[/mm] ...ig.
Richtig.
Merke Dir:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren"
Bestiime nun also
[mm] s(\vektor{1\\0})=s(\bruch{1}{10}v+\bruch{4}{10}w)
[/mm]
und
[mm] s(\vektor{0\\1})=s(\bruch{-1}{5}v+\bruch{1}{5}w).
[/mm]
Nutze dazu die Linearität von s.
LG Angela
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