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| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] \IR^{2} [/mm] mit dem Standardskalarprodukt [mm] <\vec{x},\vec{y}>:=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}
[/mm]
und die lineare [mm] A:\IR^{2}\to\IR^{2}, \vec{x}\mapsto A\vec{x}.
[/mm]
Bestimmen sie die Matrix [mm] A\in\IR^{2x2} [/mm] so, dass dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor [mm] \vec{v}:=\vektor{3 \\ -4} [/mm] erzeugten Geraden beschreibt. |
Hallo,
ich verstehe die Aufgabe nicht so richtig, bzw weiss nicht wie ich vorgehen soll. Gesucht ist glaube ich ein [mm] \vec{x}=\vektor{-3 \\ 4} [/mm] ist. Aber wie komme ich da hin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Di 22.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm]\IR^{2}[/mm] mit dem
> Standardskalarprodukt
> [mm]<\vec{x},\vec{y}>:=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}[/mm]
> und die lineare [mm]A:\IR^{2}\to\IR^{2}, \vec{x}\mapsto A\vec{x}.[/mm]
>
> Bestimmen sie die Matrix [mm]A\in\IR^{2x2}[/mm] so, dass dass die
> lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor
> [mm]\vec{v}:=\vektor{3 \\ -4}[/mm] erzeugten Geraden beschreibt.
> Hallo,
>
> ich verstehe die Aufgabe nicht so richtig, bzw weiss nicht
> wie ich vorgehen soll. Gesucht ist glaube ich ein
> [mm]\vec{x}=\vektor{-3 \\ 4}[/mm] ist. Aber wie komme ich da hin?
Du missverstehst die Aufgabenstellung. Mach' Dir eine Skizze:
Die gegebene Gerade würdest Du in der Schule (zumindest Unterstufe) schreiben als
[mm] $$y=-\frac{4}{3}x+0\,.$$
[/mm]
Zeichne deren Graphen in den euklidischen [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
Und jetzt überlege Dir, wie eine Spiegelung eines Punktes an dieser Geraden aussehen würde.
Und jetzt schau' mal, was dann
[mm] $$A*\vektor{1\\0}$$
[/mm]
und was dann
[mm] $$A*\vektor{0\\1}$$
[/mm]
sein muss, wenn [mm] $A\,$ [/mm] die Spiegelung an dieser Geraden ist. Und dann schau' nach, warum Du damit [mm] $A\,$ [/mm] schon beschreiben kannst (es ist [mm] $\left\{\vektor{1\\0},\;\vektor{0\\1}\right\}$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] - beachte, dass es sehr viele Basen des [mm] $\IR^2$ [/mm] gibt, so dass es keinen Sinn machen würde, von der Basis (allgemein) zu sprechen. Allerdings kann man durchaus von "der euklidischen Basis" sprechen.)
P.S.:
Es wäre auch sinnvoll, sich vielleicht mal geometrisch zu überlegen, warum die vorgegebene Spiegelung eine lineare Abbildung ist (ist die Spiegelung der "Summe zweier Punkte" gleich der "Summe der gespiegelten Punkte"? Ist die Spiegelung eines "gestreckten Punktes" gleich "der Streckung des gespiegelten Punktes mit gleichem Streckfaktor"?).
Und naheliegend wäre auch die Frage:
Würde das auch eine lineare Abbildung bleiben, wenn die "Spiegelgerade" keine Ursprungsgerade ist?
P.P.S:
Um die gespiegelten Punkte
[mm] $$A*\vektor{1\\0}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$A*\vektor{0\\1}$$
[/mm]
genau anzugeben, kann man, anstatt das geometrisch zu tun, auch mit gewissen Geraden, beschrieben durch die Funktionsgleichung
[mm] $$g_b(x)=\frac{3}{4}x+b$$
[/mm]
arbeiten. [mm] $b\;$ [/mm] muss dann bei der einen Geraden so gewählt sein, dass [mm] $(0|1)\,$ [/mm] zum Graphen von [mm] $g_b$ [/mm] gehört, und bei der anderen Geraden halt so, dass [mm] $(1|0)\,$ [/mm] zum Graphen gehört.
Beachte:
Das Produkt der Steigung der gegebenen Spiegelgeraden mit der Steigung der Geraden [mm] $g_b$ [/mm] ergibt [mm] $-1\,,$ [/mm] so dass alle Graphen [mm] $g_b$ [/mm] senkrecht auf die gegebenen Spiegelgeraden stehen.
Gruß,
Marcel
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Danke erstmal, aber ich hab dir kaum folgen können.
Ich hab mir das jetzt skizziert mit v und den beiden standardbasisvektoren. Ich verstehe jetzt wie ich zu spiegeln habe, aber noch nicht wie ich spiegeln kann. Für einen Vektor [mm] \vec{x}=\vektor{1\\1} [/mm] verstehe ich das, da vertausche ich einfach die Reihenfolge der Basisvektoren. Aber für alle anderen Geraden ist mir das ganze weiterhin schleierhaft.
Was ich jetzt noch weiss:
-Das Skalarprodukt von den Spaltenvektoren bleiben erhalten(=1), da Länge sich nicht ändert.
-Die Spaltenvektoren bleiben orthogonal zueinander, das heisst die Matrix muss die Form [mm] \pmat{a & b \\ b & -a} [/mm] annehmen.
-Und vermutlich muss ich irgendwas mit [mm] \pmat{\cos{\phi} & -\sin{\phi} \\ \sin{\phi} & \cos{\phi} } [/mm] rotieren. Allerdings weiss ich nicht genau wie, in trigonometrischen Funktionen bin ich eine echte Niete...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:41 Mi 23.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du , dass eine lin. Abbildung im [mm] R^2 [/mm] eindeutig durch das Bild von 2 lin unabhängigen Vektoren bestimmt ist.
Dann ist es am einfachsten, das Bild der Basisvektoren zu nehmen, wohin wird (0,1) und (1,0) abgebildet.
Dann nur noch die Matrix hinschreiben, die das tut.
eine spiegelumng ist keine Drehung, du kannst sie höchstens durch 2 drehungen darstellen aber im [mm] R^3!
[/mm]
deine linke und Rechte Hand sind Spiegelbilder, versuch sie durch Drehung ineinander überzuführen.
Gruss leduart
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Ich kann's nur zeichnerisch in etwa bestimmen mit [mm] A=\pmat{\approx -0,5 & \approx -1,8 \\ \approx -1,8 & \approx 0,5}. [/mm] Aber ich sehe da kein Zusammenhang... gibt es nicht einfach eine Formel zum auswendig lernen?
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> Ich kann's nur zeichnerisch in etwa bestimmen
Hallo,
Du postest im Hochschulforum.
Ich gehe davon aus, daß etliches, was Du lernen solltest, einfach an Dir vorbeigegangen ist...
(Deine zeichnerische Bestimmung ist auch nicht so der Hit.)
Hier mal das Kochrezept für das Aufstellen von Darstellungsmatrizen (bzgl der Standardbasis) linearer Abbildungen:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Standardbasisvektoren."
Also mußt Du herausfinden, worauf [mm] \vektor{1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1} [/mm] abgebildet werden.
Das wurde im Thread ja auch schon gesagt.
Eigenschaften einer Spiegelung:
Was macht Deine Spiegelung mit Vielfachen von [mm] \vektor{3\\-4}, [/mm] also solchen Vektoren, die parallel zur Spiegelachse sind?
Was macht Deine Spiegelung mit Vielfachen von [mm] \vektor{4\\3}, [/mm] also mit Vektoren, die senkrecht zur Spiegelachse sind?
Die beiden Vektoren [mm] \vektor{3\\-4} [/mm] und [mm] \vektor{4\\3} [/mm] bilden eine Basis, welche besonders gut zu der zu betrachtenden Abbildung paßt.
Schreibe die beiden Standardbasisvektoren als Linearkombination von [mm] \vektor{3\\-4} [/mm] und [mm] \vektor{4\\3}.
[/mm]
Wende nun die Abbildung darauf an. Das gelingt leicht, wenn Du die Linearität berücksichtigst.
Ergebnisse?
Dies sind dann die Spalten der gesuchten Matrix.
> eine Formel zum auswendig lernen?
Gibt's auch: schau bei wikipedia unter Spiegelungsmatrix und unter Householdertransformation.
Aber ich warne vor dem Auswendiglernen: die schönste Spiegelungsmatrix nützt Dir nämlich nix, wenn Du in der Klausur die Darstellungsmatrix irgendeiner anderen Abbildung sagen sollst...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich kann's nur zeichnerisch in etwa bestimmen mit
> [mm]A=\pmat{\approx -0,5 & \approx -1,8 \\ \approx -1,8 & \approx 0,5}.[/mm]
> Aber ich sehe da kein Zusammenhang... gibt es nicht einfach
> eine Formel zum auswendig lernen?
Na klar, nimm die:
[mm] $(a~\bmod~m)= [/mm] a - [mm] \lfloor [/mm] a/m [mm] \rfloor \cdot [/mm] m = [mm] \begin{array}{rl} f(t) =& -\frac{8h}{\pi^2}\left[ {\cos{\omega t} + \frac{1}{3^2} \cos{3 \omega t} + \frac{1}{5^2} \cos{5 \omega t} + \cdots}\right] \\[.6em] =& -\frac{8h}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ \cos ((2k-1) \omega t)}{(2k-1)^2} \end{array} [/mm] = [mm] {e^{-y} - e^{y} \over 2i} [/mm] = i [mm] {e^{-y} - e^{y} \over 2(-1)} [/mm] = i [mm] \frac{1}{2} \left( e^y - e^{-y} \right) [/mm] $
FRED
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![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
Die kennt doch jeder!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich kann's nur zeichnerisch in etwa bestimmen mit
> > [mm]A=\pmat{\approx -0,5 & \approx -1,8 \\ \approx -1,8 & \approx 0,5}.[/mm]
> > Aber ich sehe da kein Zusammenhang... gibt es nicht einfach
> > eine Formel zum auswendig lernen?
>
>
> Na klar, nimm die:
>
> [mm](a~\bmod~m)= a - \lfloor a/m \rfloor \cdot m = \begin{array}{rl} f(t) =& -\frac{8h}{\pi^2}\left[ {\cos{\omega t} + \frac{1}{3^2} \cos{3 \omega t} + \frac{1}{5^2} \cos{5 \omega t} + \cdots}\right] \\[.6em] =& -\frac{8h}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ \cos ((2k-1) \omega t)}{(2k-1)^2} \end{array} = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i {e^{-y} - e^{y} \over 2(-1)} = i \frac{1}{2} \left( e^y - e^{-y} \right) [/mm]
irgendwie erinnert mich das an das angehängte:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") 1+1=2
Beste Grüße,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pps) [nicht öffentlich]
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