Spiegelung von Geraden an Eben < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wir haben vor kurzem eine Aufgabe bekommen, bei der wir eine Gerade an einer Ebene spiegeln sollten...
Unser Lehrer hat uns erklärt wie das geht (Schnittpunkt berechnen, Punkt P aussuchen und spiegeln usw.) aber ich fand den Weg zu lang und hab eine Formel entwickelt:
[mm] \overrightarrow{v}' [/mm] = 2 [mm] \bruch{\overrightarrow{v} \* \overrightarrow{n_{E}}}{n²}\overrightarrow{n_{E}} [/mm] - [mm] \overrightarrow{v} [/mm] ,
wobei [mm] \overrightarrow{v}' [/mm] der neue Richtungsvektor ist, [mm] \overrightarrow{v} [/mm] der Richtungsvektor der Geraden, die man spiegeln soll, [mm] \overrightarrow{n_{E}} [/mm] der Normalenvektor der Ebene und n die Länge des Normalenvektors.
Mit dieser Formel komme ich auf genau dieselben Ergebnisse, wie mit dem anderen Verfahren, aber es geht viel schneller...
ich wollte nachfragen, ob es diese Formel schon gibt oder ob sie wirlich von mir stammt. Wenn ja, wo kann man sich die Namensrechte sichern?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Matthias,
also zunächst mal: Diese Formel kenne ich noch nicht!
Das will zwar noch nichts heißen, aber ist schon mal ein gutes Zeichen für Dich!
Wenn Du die Formel einer breiteren Öffentlichkeit zugänglich machen möchtest, musst Du allerdings auch ihre Herleitung bzw. einen Beweis ihrer Gültigkeit mitliefern. Vor allem ist wichtig: Gilt die Formel auch für Sonderfälle (z.B. wenn die Gerade parallel zur Ebene liegt oder auf ihr senkrecht steht) oder müssen besondere Voraussetzungen gelten?
Schließlich würde ich Dir empfehlen, das Ganze als etwas längeren Artikel an eine mathematische Zeitschrift zu senden (Mir fällt da auf die Schnelle nur ein: "Mathematik Lehren" www.friedrich-verlag.de) und auf eine Veröffentlichung zu hoffen.
Ob es so was wie eine "Zentralstelle" für bereits existierende mathematische Formeln u.ä. gibt, ist mir nicht bekannt, kommt mir aber eher unwahrscheinlich vor. Zumindest gibt es ein "Deutsches Institut für Normung e.V.", das sich auch mit der Normung mathematischer Zeichen und Begriffe befasst. (Die Adresse kannst Du via Internet rauskriegen!)
Was eine "Patentierung" betrifft, so bin ich da eher skeptisch, denn ich habe unter der Adresse
www.stuttgart.ihk24.de/SIHK24/SIHK24/produktmarken/index.jsp?url=http%3A//www.stuttgart.ihk24.de/SIHK24/SIHK24/produktmarken/recht_und_fair_play/recht/Gewerblicher_Rechtsschutz/liGewerblicheSchutzrechte230505.jsp
Folgendes gefunden:
"5.1 Voraussetzungen für eine Patentanmeldung
(...)
. Technische Erfindung
(...)
Entdeckungen, wissenschaftliche Theorien, mathematische Methoden und medizinische Verfahren sind aber beispielsweise nicht patentierbar."
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Mi 29.06.2005 | | Autor: | LK15Punkte |
Hi Erwin,
danke für die Mühe, die du dir gemacht hast.
die Herleitung habe ich nicht gepostet, weil sie mit einer oder zwei Zeichnungen verbunden ist.
An eine Patentierung habe ich von wornherein nicht gedacht, aber man könnte die Formel (falls es sie noch nicht gibt) ja nach meinem Namen benennen und sie in die Mathebücher der späteren Generationen zu ihrem Leid abdrucken ;)
Aber wenn erfahrene Mathematiker diese Formel nciht kennen....wer weiß?
vielleicht habe ich der Mathematik ja wirklich einen Dienst erwiesen :P
Ich bitte aber alle, die die Formel schon kennen und die das hier lesen um ein kurzes statement.
ansonsten....behaltet sie euch und benutzt sie, wenn ihr Geraden an Ebenen spiegeln wollt.
Genaue Anleitung:
1. Schittpunkt S Ebene-Gerade bestimmen,
2. Formel ^^ anwenden um den neuen Richtungsvektor [mm] \vec{v}' [/mm] herauszubekommen,
3. Parametergleichung mit [mm] \vec{s} [/mm] als Antragungsvektor und [mm] \vec{v}' [/mm] als Richtungsvektor.
sehr viel schneller als die "konservative" Methode...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, LK15Punkte
(wie ist eigentlich Dein richtiger Vorname?!)
das mit der Veröffentlichung hab' ich ernst gemeint!
Ich habe die Zeitschrift "Mathematik lehren" selbst abonniert und finde dort häufig supercoole Artikel, Anregungen, Aufgaben, Ideen, Tipps, auch mal "Spielereien", etc.
Du solltest das echt mal ins Auge fassen!
Und wenn Dir ein ganzer Artikel zu viel Mühe bereitet, verfass' halt einfach einen Leserbrief!
Na, wie wär's?
Vielleicht les' ich da bald mal was von Dir?
Würd' mich echt freuen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Mi 29.06.2005 | | Autor: | LK15Punkte |
Hi,
Mein richtiger Name ist in der Tat Matthias.
ich werds mir durch den Kopf gehen lassen mit der Veröffentlichung...
vielleicht kann ich das ja auch für irgendeine Doktorarbeit oder so verwenden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Do 30.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Matthias,
> Hi,
>
> Mein richtiger Name ist in der Tat Matthias.
Ehrlicher Mensch Du!
Meiner ist zwar nicht Erwin, aber der gefällt mir so gut!
>
> ich werds mir durch den Kopf gehen lassen mit der
> Veröffentlichung...
> vielleicht kann ich das ja auch für irgendeine
> Doktorarbeit oder so verwenden...
Ich wünsch' Dir jedenfalls viel Glück dazu!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Do 30.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Matthias,
schön, dass du dir selbständig Gedanken zur Mathematik machst, das hatte ich früher auch öfter gemacht...
Jedenfalls:
> [mm]\overrightarrow{v}'[/mm] = 2 [mm]\bruch{\overrightarrow{v} \* \overrightarrow{n_{E}}}{n²}\overrightarrow{n_{E}}[/mm]
> - [mm]\overrightarrow{v}[/mm] ,
>
> wobei [mm]\overrightarrow{v}'[/mm] der neue Richtungsvektor ist,
> [mm]\overrightarrow{v}[/mm] der Richtungsvektor der Geraden, die man
> spiegeln soll, [mm]\overrightarrow{n_{E}}[/mm] der Normalenvektor
> der Ebene und n die Länge des Normalenvektors.
-ein Normalenvektor heißt so, weil er normiert ist, also die Länge 1 hat, deshalb kann man dein [mm] n^2 [/mm] sofort streichen.
- du schreibst nicht, welches Vektorprodukt du bei $ [mm] \overrightarrow{v} \* \overrightarrow{n_{E}} [/mm] $ verwenden willst, jedenfalls muss der Faktor zwischen der 2 und dem $ [mm] \overrightarrow{n_{E}} [/mm] $ die Richtung von Letzterem kompensieren, d.h. wenn v und [mm] n_E [/mm] "auf derselben" Seite der Ebene liegen, muss der Faktor eben eine (-1) liefern.
wenn du dies beides so in deiner Formel auch meintest, dann ist das eine ziemlich einfache Aufgabe für eine Klassenarbeit oder so, denn die Idee dahinter ist ja simpel.
Wenn du dies nicht meinen solltest, dann erkläre nochmal das genannte Produkt, bzw. den Faktor vor dem [mm] n_E
[/mm]
Solche Formeln haben normalerweise dann keine Namen, weil sie zu unwichtig sind, oder einfach zuviele davon gibt - es gibt ganze Massensammlungen von solchen Formeln...
Übrigens sucht man nicht selbst die Namen aus, welche in de rLiteratur verwendet werden, sie werden einem viel mehr als Ehre zu teil, wenn man eine Formel oder Quantor oder Ähnliches etwas häufiger braucht (also muss es inhaltlich auch von Bedeutung sein) und die Fachwelt über längere Zeit diesen dann mit dem Namen des Erfinders belegt (um seine Leistungen zu würdigen).
Für eine Doktorarbeit / Diplomarbeit wird es aber höchstens als beiläufigen Absatz dienen können, denn im Studium erwartet einen eine viel krassere Form von Mathematik.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Do 30.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, DaMenge,
muss Dich leider etwas korrigieren:
> -ein Normalenvektor heißt so, weil er normiert ist, also
> die Länge 1 hat, deshalb kann man dein [mm]n^2[/mm] sofort
> streichen.
Das stimmt so nicht!!!
Der Normalenvektor heißt so, weil er zur Ebene "normal" ist, das heißt: auf ihr senkrecht steht
(so wie in der Analysis die "Normale" auf der Tangente senkrecht steht).
Daher ist seine Länge nicht notwendigerweise 1.
Dies ist beim "Normaleneinheitsvektor" [mm] \vec{n}^{0} [/mm] der Fall, der z.B. in der Hesseschen Normalenform benötigt wird. In "anderen" Normalenformen hat der Normalenvektor fast nie die Länge 1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Do 30.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
danke für den Hinweis - ich erinnerte mich jetzt nur noch an die hessische Form, also wo der Normalenvektor auch normiert sein muss.
Dann ziehe ich den Einwand diesbezüglich natürlich zurück.
Aber wenn der Faktor vor dem [mm] n_E [/mm] trotzdem nur die Richtung kompensieren soll, dann bleibt die Idee ja simpel.
Sollte sich der ganze Trick jetzt in diesem besagten Faktor verstecken (, also wenn die Herleitung nicht-trivial oder gar genial wird) , dann möge man mein voreiliges Kommentar dazu vergessen.
Leider kenne ich ja längst nicht mehr soviele Formeln aus der Schulzeit um zu beurteilen, ob dies nun der Fall ist, aber dies würde man ja dann auch in der Herleitung sehen.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Fr 01.07.2005 | | Autor: | LK15Punkte |
Hi,
da wohl Nachfrage besteht, werde ich nun meinen Ansatz hier versuchen darzustellen.
Ich habe die Spiegelung als Rückwärtsrechnung der Winkelhalbierung betrachtet, bei der man den Winkel zwischen zwei Vektore folgendermaßen ausrechnet:
[mm] \vec{u}^{0}+\vec{v}^{0} [/mm] = [mm] \vec{w}
[/mm]
Wenn man sich das an einer Ebene vorstellt, ist der winkelhalbierende Vektor [mm] \vec{n}, [/mm] da der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel sein muss.
Das kann man zurückrechnen, wobei man allerdings nicht die benötigte Länge des winkelhalbierenden Vektors kennt:
[mm] \vec{v}^{0}'= [/mm] k * [mm] \vec{n_{E}}^{0} [/mm] - [mm] \vec{v}^{0}
[/mm]
Um das benötigte Vielfache herauszubekommen spalte ich den Vektor [mm] \vec{v}^{0} [/mm] in einen zum Vektor [mm] \vec{n_{E}} [/mm] kollinearen [mm] (\vec{v_{1}})und [/mm] einen orthogonalen [mm] (\vec{v_{2}})Teil [/mm] auf.
Dann lässt sich das Skalarprodukt
[mm] \vec{v}^{0} \* \vec{n_{E}}^{0} [/mm]
ausmultiplizieren zu:
[mm] \vec{v_{1}} \* \vec{n_{E}}^{0} [/mm] + [mm] \vec{v_{2}} \* \vec{n_{E}}^{0}
[/mm]
Da der letzte Teil null ist [mm] (\vec{v_{2}} \perp \vec{v_{2}}) [/mm] und wegen der Kollinearität, ist das Skalarprodukt: [mm] v_{1} [/mm] * [mm] n_{E}^{0} [/mm] = [mm] v_{1}.
[/mm]
Der Normalenvektor muss mit der doppelten Länge des Vektors [mm] \vec{v_{1}} [/mm] malgenommen werden, um die richtige Länge zu haben.
Um das zu veranschaulichen, wäre eine Skizze gut.
Also ist k = 2 * [mm] \vec{v_{1}} [/mm] =2 [mm] *\vec{v}^{0} \* \vec{n_{E}}^{0} [/mm] .
in die Gleichung oben eingesetzt ergibt sich:
[mm] \vec{v}^{0}'= [/mm] 2 * ( [mm] \vec{v}^{0} \* \vec{n_{E}}^{0} [/mm] ) * [mm] \vec{n_{E}}^{0} [/mm] - [mm] \vec{v}^{0}
[/mm]
so...und um das ganze zu vereinfachen habe ich die Einheitsvektoren als Quotient aus Vektor und Länge geschrieben, und da der gespiegelte Vektorgenauso lang sein soll wie der erste Vektor, kann man die Länge v aus der Gleichung streichen.
Da ein n aus dem Skalarprodukt in den Nenner kommt, muss man keine Längenberechnung durchführen, sondern nur die Quadrate der Komponenten summieren.
so weit so gut...
MfG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:48 Fr 01.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Nabend Matthias,
genau so hatte ich es mir auch am Anfang gedacht, ich bin nur von normierten Normalenvektoren ausgegangen:
nachdem du deinen N.vektor mit n² normiert hast, betrachtest du die Projektion von v auf (nicht notw normierten) [mm] n_E [/mm] (*) - zusätzlich gibt die Projektion auch gleich die richtige Richtung mit an.
(du nennst dies die zu [mm] n_E [/mm] kolineare Komponente)
Und der Rest ist dann einfache Vektorgeometrie.
(*)=das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren liefert ja gerade die Länge des Vektors, der entstehen würde, wenn man den ersten auf die gedachte Verlängerung des zweiten senkrecht abbildet - hierbei wird die Länge negativ, wenn der projezierte Vektor entgegen der Richtung des zweiten Vektors zeigt (man stelle sich also einen Zahlenstrahl als Verlängerung des zweiten Vektors vor, der in dessen Richtung bei 0 anfängt.)
Ich muss schon sagen: das ist eine elegante Art dies zu lösen, habt ihr das schonmal in der Schule so gemacht?
Es sieht jedenfalls schön aus, aber wirklich was Neues ist es nicht, wenn man weiß, was das Skalarprodukt macht.
also ich denke für eine Formel mit Namen wird es nicht reichen, aber wenn du so weiter machst, wird bestimmt noch eine nach Dir benannt...
nächtliche Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Fr 01.07.2005 | | Autor: | LK15Punkte |
Hi Stefan,
Ich danke dir für deinen Hinweis und habe ja den Thread eigentlich nur für diese Mitteilung angefangen...
Ich frage mich aber, wieso das nict in unseren Mathebüchern steht. Die andere Methode ist nämlich viel umständlicher.
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, keine Frage, aber es ist mathematisch gesehen wirklich nichts Dolles und sehr, sehr elementar. Wenn man Ahnung von orthogonalen Projektionen hat, stellt sich diese Formel quasi von selbst auf, trägt also insofern auch keinen eigenen Namen.
