Spiegelungsmatrix R3 < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hey Leute,
bin bald am verzweifeln. Ich bin mir zu 100% sicher, dass ich gestern auf 2 internetseiten eine matrix (für r3!!!) gesehen hab, mit der man gebilde an einer beliebigen achse als spiegelachse spiegeln kann.
aber jetzt suche ich schon seit einer halben stunde, aber entweder bin ich zu blöd, oder ich seh den wald vor lauter bäumen nicht, aber ich find diese matrix einfach nicht mehr.
kann sie mir jemand sagen oder einen link nennen, wo ich die finde? wäre SUPER :)
danke,lg
kleene
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Baumkind |
Hi.
Also die Frage ist, was ihr gehabt habt, bzw. was du suchst. Ich kenn das von der Schule nur mit Normalen und deren Schnittpkt. mit dem Gebilde an dem gespiegelt werden soll.
Jedoch gibt es auch die Möglichkeit das Problem über einen Basiswechsel zu lösen.
lg
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Also ich weiß nicht 100%, was ich suche.
Ich behandle in mener Facharbeit "abbildungen mit matrizen" auch spiegelungen im R³. Für Punktspiegelung und Achsenspiegelung an den Koordinatenachsen braucht man ja noch keine Matrix, da kehren sich ja immer nur die jeweiligen VOrzeichen um.
Aber wenn ich an etwas anderes Spiegeln will, also an einer anderen Achse oder Ebene, war ich der Meinung, ich bräuchte eine Matrix. Hatte etwas in der Art gefunden, was aussah wie ne Drehmatrix, nur mit cos 2 * [mm] \alpha [/mm] und sin * 2 [mm] \alpha. [/mm] allerdings war mir nicht klar, woher ich ein [mm] \alpha [/mm] bekommen soll, da ich ja nicht um einen wWinkel drehen möchte, sondern Spiegeln will.
Hilft das weiter?
Ich hoffe doch :)
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Hallo!
Ich antworte mal direkt auf den ersten Beitrag...
Du schreibst, daß man im einfachen Fall der Spiegelung an einer Koordinatenebene/-Achse oder dem Ursprung noch keine Matrix braucht, weil man ja einfach die Vorzeichen abändern muß.
Das ist prinzipiell richtig, aber das liegt einfach an deiner Intelligenz. Ein Computer, der deine Spiegelung an beliebigen Achsen durchführen kann, würde niemals denken: "Ha, hier soll ich an der x-Achse spiegeln, das ist einfach, da brauch ich die komplizierte Rechnung nicht!", sondern er würde das ganz stupide ausrechnen.
Die Matrix für deinen Vorzeichenwechsel lautet:
Spiegelung an x-Achse: [mm] S_x=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0&-1&0\\0&0&-1 }
[/mm]
Man könnte jetzt auf die Idee kommen, deine Spiegelachse und den zu spiegelnden Vektor im Raum derart zu drehen, daß die Spiegelachse auf der x-Achse liegt. Das ist eine Drehung im Raum, die dann durch eine Drehmatrix beschrieben wird. Anschließend läßt man die o.g. Spiegelmatrix auf deinen Vektor los, und dreht das Ergebnis wieder zurück, indem man die Umkehrung der Drehmatrix ( [mm] \alpha\to(-\alpha)) [/mm] anwendet. In 2D sieht das so aus:
[mm]
\vec{x}_s=\underbrace{\pmat{\cos -\alpha & -\sin -\alpha \\ \sin -\alpha & \cos -\alpha}}_{2. Drehung}
\underbrace{\pmat{1&0\\0&-1}}_{Spiegelung}
\underbrace{\pmat{\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha}}_{1. Drehung}\vec{x}
[/mm]
Wenn du die drei Matrizen multiplizierst und die Additionstheoreme anwendest, solltest du auf eine Spiegelmatrix kommen, die ich mal von Wiki klaue:
[mm] $S_g [/mm] = [mm] \pmat{ \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha}$
[/mm]
Allerdings mußt du hier den Winkel [mm] \alpha [/mm] kennen, das ist der Winkel zwischen deiner Spiegelgraden und der verwendeten Spiegelachse (hier: x-Achse)
In 3D wird es meiner Meinung nach aber kompliziert, weil du nun auch noch die Drehachse berücksichtigen mußt. So elegant wie in 2D wird das kaum aussehen.
Ich würde generell einen anderen Ansatz wählen: Seit [mm] |\vec{n}|=1 [/mm] . Das Skalarprodukt [mm] \vec{n}\vec{a} [/mm] liefert dir dann die Länge der zu [mm] \vec{n} [/mm] parallelen Komponente von [mm] \vec{a} [/mm] . Das heißt: [mm] (\vec{n}\vec{a})\vec{n} [/mm] ist ein Vektor, der parallel zu [mm] \vec{n} [/mm] ist. Von seiner "Spitze" aus geht es unter 90°-Winkel zur Spitze von [mm] \vec{a} [/mm] . Dieses zweite Wegstück ist [mm] \vec{a}-(\vec{n}\vec{a})\vec{n}
[/mm]
Damit gilt:
[mm] \vec{a}=\underbrace{(\vec{n}\vec{a})\vec{n}}_{\text{zu }\vec{n}\text{ parallele Komponente}}+\underbrace{\vec{a}-(\vec{n}\vec{a})\vec{n}}_{\text{zu }\vec{n}\text{ senkrechte Komponente}}
[/mm]
Die Spiegelung an der Graden bedeutet für den Punkt [mm] \vec{a} [/mm] doch nun, daß bei dieser senkrechten Komponente die Vorzeichen umgekehrt werden müssen, weil sie in genau die entgegengesetzte Richtung zeigt. Und damit:
[mm] \vec{a}_s=\underbrace{(\vec{n}\vec{a})\vec{n}}_{\text{zu }\vec{n}\text{ parallele Komponente}}\red{-}\underbrace{\vec{a}-(\vec{n}\vec{a})\vec{n}}_{\text{zu }\vec{n}\text{ senkrechte Komponente}}
[/mm]
Das sieht zwar nicht nach Matrix aus, aber schreibe mal [mm] \vec{n}=\vektor{n_x\\n_y\\n_z} [/mm] und gleiches für [mm] \vec{a}. [/mm] Setz das ein, und rechne alles so aus, daß da steht:
[mm] $\vec{a}_{sX}= [/mm] \ [mm] \Box*a_x+\Box*a_y+\Box*a_z$
[/mm]
[mm] $\vec{a}_{sY}= [/mm] \ [mm] \Box*a_x+\Box*a_y+\Box*a_z$
[/mm]
[mm] $\vec{a}_{sZ}= [/mm] \ [mm] \Box*a_x+\Box*a_y+\Box*a_z$
[/mm]
In den Kästchen stehen Ausdrücke mit n drin. Diese Kästchen bilden die Komponenten deiner Matrix, die übrigens nix mit Winkeln zu tun hat.
Beachte aber, daß hier [mm] \vec{n} [/mm] dringend die Länge 1 haben muß, und daß alles, was ich geschrieben habe, nur für Ursprungsgraden gilt. Nicht-Ursprungsgraden bedingen eine Verschiebung des ganzen in den Ursprung, die Spiegelung, und dann eine Rückverschiebung. Verschiebungen sind aber etwas, was Matrizen nicht leisten können.
So, da hab ich aber viel geschrieben.
Vielleicht kannst du ja auch mal in der History deines Browsers nachschaun, wo du gestern überall warst (Firefox: STRG+H) . Wenn du doch noch was findest, kannste das gerne mal posten, ich würd es mir gern anschaun!
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Hallo,
vielen lieben Dank erstmal für diese super ausführliche und verständliche Antwort. Am zweiten Teil bastel ich grad noch, ob ichs verstanden hab und obs klappt, so wie ich des machen möchte.
Aber mal ne Frage zum ersten Teil.
Du schreibst für die Spiegelung an der x-Achse, also an der yz-Ebene wird die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1} [/mm] verwendet. aber müsste es nicht sein:
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] ?
Es dreht sich doch das Vorzeichen der x-Koordinate um, oder?
Lg
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Hallo!
Nein. Wenn du an der x-Achse spiegelst, bleibt die x-komponente gleich, nur die beiden anderen KOmponenten ändern sich.
(Das ist so ne Art Punktspiegelung in der Ebene, wobei die Ebene parallel zur x-Achse liegt, und der Punkt der Durchstoßungspunkt der Achse ist!)
Wenn du an der xy-Ebene spiegelst, ändert sich ausschließlich die z-Komponente. (Bei deinem Spiegelbild ist links/rechts und vorne / hinten vertauscht, oben und unten bleibt aber...)
Und bei der Punktspiegelung am Ursprung ändern sich alle Komponenten.
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Hey Leute!
Also ich hab das noch nicht so ganz verstanden.
Ich bin leider was das thema angeht ein kompletter laie und beschäftige mich daher nur durch meine facharbeit damit
Also [mm] \vec{n} [/mm] ist der Vektor, um den gedreht werden muss. Er muss vom Urprung weggehen, und die Länge 1 haben. Also sagen wir einfach mal:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{29}} \pmat{ 2 \\ 3 \\ 4 } [/mm]
Der Punkt, den ich drehen möchte: A (5/3/6), [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \pmat{ 5 \\ 3 \\ 6 }
[/mm]
Das Skalarprodukt der beiden: [mm] \vec{n}\vec{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{29}} [/mm] (10 + 9 + 24) = [mm] \bruch{43}{\wurzel{29}}
[/mm]
Du sagst: Das Skalarprodukt [mm] \vec{n}\vec{a} [/mm] liefert dann die Länge der zu [mm] \vec{n} [/mm] parallelen Komponente von [mm] \vec{a}.
[/mm]
Was genau soll das heißen? Was ist eine komponente von [mm] \vec{a}, [/mm] die zu [mm] \vec{n} [/mm] parallel ist? Ich kann mir das irgendwie bildlich nicht vorstellen
hab im prinzip zwei ortsvektoren, also beide vom ursprung weg, die aber in komplett andere richtungen zeigen
Und was soll daran parallel sein?
Ok ich rechne erstmal weiter, vll kommts dann
[mm] (\vec{n}\vec{a}) \vec{n} [/mm] = [mm] \bruch{43}{\wurzel{29}} bruch{1}{\wurzel{29}} \pmat{2 \\ 3 \\ 4 } [/mm] = [mm] \bruch{43}{29} \pmat{ 2 \\ 3 \\ 4 } [/mm] = [mm] \bruch{1}{29} \pmat{ 86 \\ 129 \\ 173 }
[/mm]
So, ich hab mir das alles jetz ma im 3dgeobaukasten gezeichnet, aber das sieht ganz anders aus.
[mm] (\vec{n}\vec{a}) \vec{n} [/mm] ist nicht nur parallel zu [mm] n\vec{n}, [/mm] er liegt genau in ihm, ist halt nur viel länger. Um genau zu sein dem anschein nach genau so lang wie [mm] \vec{a}. [/mm] Sieht zumindest so aus. Aber zwischen der spitze von [mm] \vec{a} [/mm] und davon liegt meiner meinung nach kein 90° winkel
.eher so 45°.
Aber ich rechne mal weiter und schau, wie das dann aussieht.
Also jetzt noch
[mm] \vec{a} [/mm] - [mm] (\vec{n}\vec{a}) \vec{n}= \pmat{ 5 \\ 3 \\ 6 } [/mm] - [mm] \bruch{1}{29} \pmat{ 86 \\ 129 \\ 173 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2,0345 \\ -1,4483 \\ 0,0345 }
[/mm]
Und jetzt noch
[mm] (\vec{n}\vec{a}) \vec{n} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] (\vec{n}\vec{a}) \vec{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{29} \pmat{ 86 \\ 129 \\ 173 } [/mm] - [mm] \pmat{ 2,0345 \\ -1,4483 \\ 0,0345 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0,93102 \\ 5,89658 \\ 5,93102}
[/mm]
Juhuuuuuuuu! Also das ergebnis stimmt ! (grafisch)
Aber die zwischenschritte sehen in der grafik noch nicht so ganz aus wie sie sollen
?! Ich mach in anhang mal die grafik. Rot ist der [mm] \vec{n} [/mm] um den gedreht wird, der ist einmal normal und dann noch mit länge 1 drin. Grün ist [mm] (\vec{n}\vec{a}) \vec{n} [/mm] , wie man sieht, die sind ja identisch
.grün ist nur länger.
Dunkelblau ist [mm] \vec{a};, [/mm] hellblau ist [mm] \vec{a}'.
[/mm]
Ich machs 2mal nebeneinander aus ner anderen Perspektive
Lg kleene
PS:ich hoffe, die formeln passen etza alle dank formelsystem ^^
Dateianhänge:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Di 27.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Graphik kann ich nicht sehen ohne word.
Aber erstmal erklaeren, was ne Komponente ist:
du weisst sicher, was die x, y, z Komponente eines Vektors ist?
Du zerlegst den Vektor in die 3 Richtungen. Formal kannst du ihn auch mit (1,0,0) skalar mult um die x komp. rauszukriegen.
Ebenso kann man nen Vektor in 2 zueinander senkrechte Richtungen zerlegen, seine n Komponente ist dann der Anteil in n Richtung, die dazu senkrechte Komponente ist der Rest.
Da 2 Vektoren immer in einer Ebene liegen, hier dein n und dein a brauchst du auch nur 2 Komponenten, eben die in Richtg von n und die dazu senkrechte.
Gruss leduart
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hab noch ein bild extra angehängt für die word-nichthaber:)
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Hallo!
Das mit dem Word-Dokument hat durchaus seine Berechtigung. Nicht jeder hat Word, und selbst wenn, wenn du eine neuere Version hast als jemand anders, kann dieser die Datei auch nicht öffnen. Und da du ein Bild zeigen willst, solltest du auch ruhig ein Bild hier rein stellen.
Die Grafik sieht ja schonmal gut aus. Was mir noch fehlt, wäre ein Pfeil von der grünen Spitze zur der in blau und cyan. Das wäre dann jeweils die genannte senkrechte Komponente sowie die senkrechte Komponente mit den vertauschten Vorzeichen zwecks Spiegelung. Wenn du das ganze dann noch aus der richtigen Perspektive zeichnest, solltest du halbwegs erkennen können, daß diese senkrechte und parallele Komponente tatsächlich senkrecht aufeinander stehen, und daß beide zusammen den Vektor zu deinem Punkt [mm] \vec{a} [/mm] bilden.
> Das Skalarprodukt der beiden: [mm]\vec{n}\vec{a}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{29}}[/mm] (10 + 9 + 24) =
> [mm]\bruch{43}{\wurzel{29}}[/mm]
> Du sagst: Das Skalarprodukt [mm]\vec{n}\vec{a}[/mm] liefert dann
> die Länge der zu [mm]\vec{n}[/mm] parallelen Komponente von
> [mm]\vec{a}.[/mm]
> Was genau soll das heißen? Was ist eine komponente von
> [mm]\vec{a},[/mm] die zu [mm]\vec{n}[/mm] parallel ist? Ich kann mir das
> irgendwie bildlich nicht vorstellen
hab im prinzip zwei
> ortsvektoren, also beide vom ursprung weg, die aber in
> komplett andere richtungen zeigen
> Und was soll daran parallel sein?
Nun, der grüne Vektor ist parallel zu dem roten, und er ist genau so lang, daß man von seiner spitze im rechten Winkel zu deinem blauen Vektor kommt. Man kann sich recht schnell überlegen, warum das so ist, allerdings braucht man dazu schon ne gute Skizze.
> Ok ich rechne erstmal weiter, vll kommts dann
> [mm](\vec{n}\vec{a}) \vec{n}[/mm] = [mm]\bruch{43}{\wurzel{29}} bruch{1}{\wurzel{29}} \pmat{2 \\ 3 \\ 4 }[/mm]
> = [mm]\bruch{43}{29} \pmat{ 2 \\ 3 \\ 4 }[/mm] = [mm]\bruch{1}{29} \pmat{ 86 \\ 129 \\ 173 }[/mm]
>
> So, ich hab mir das alles jetz ma im 3dgeobaukasten
> gezeichnet, aber das sieht ganz anders aus.
>
> [mm](\vec{n}\vec{a}) \vec{n}[/mm] ist nicht nur parallel zu
> [mm]n\vec{n},[/mm] er liegt genau in ihm, ist halt nur viel länger.
Zunächst: Ein Vektor charakterisiert keine feste Position im Raum, sondern nur sowas wie eine Verschiebung vom Anfang zum Ende des Pfeils. Wenn zwei parallele Vektoren an der gleichen Stelle anfangen (wie bei dir, im Ursprung), dann liegen sie auch auf einer gemeinsamen Graden.
> Um genau zu sein dem anschein nach genau so lang wie
> [mm]\vec{a}.[/mm] Sieht zumindest so aus.
Richtig, es sieht so aus. Das liegt aber nur daran, daß dein roter und dein blauer Vektor nur einen kleinen Winkel zueinander haben
> Aber zwischen der spitze
> von [mm]\vec{a}[/mm] und davon liegt meiner meinung nach kein 90°
> winkel
.eher so 45°.
Das sieht auch nur so aus. Da sind 90°
> Aber ich rechne mal weiter und schau, wie das dann
> aussieht.
> Also jetzt noch
> [mm]\vec{a}[/mm] - [mm](\vec{n}\vec{a}) \vec{n}= \pmat{ 5 \\ 3 \\ 6 }[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{29} \pmat{ 86 \\ 129 \\ 173 }[/mm] = [mm]\pmat{ 2,0345 \\ -1,4483 \\ 0,0345 }[/mm]
>
> Und jetzt noch
> [mm](\vec{n}\vec{a}) \vec{n}[/mm] - [mm]\vec{a}[/mm] - [mm](\vec{n}\vec{a}) \vec{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{29} \pmat{ 86 \\ 129 \\ 173 }[/mm] - [mm]\pmat{ 2,0345 \\ -1,4483 \\ 0,0345 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0,93102 \\ 5,89658 \\ 5,93102}[/mm]
> Juhuuuuuuuu! Also
> das ergebnis stimmt ! (grafisch)
> Aber die zwischenschritte sehen in der grafik noch nicht
> so ganz aus wie sie sollen
?! Ich mach in anhang mal die
> grafik. Rot ist der [mm]\vec{n}[/mm] um den gedreht wird, der ist
> einmal normal und dann noch mit länge 1 drin. Grün ist
> [mm](\vec{n}\vec{a}) \vec{n}[/mm] , wie man sieht, die sind ja
> identisch
.grün ist nur länger.
> Dunkelblau ist [mm]\vec{a};,[/mm] hellblau ist [mm]\vec{a}'.[/mm]
> Ich machs 2mal nebeneinander aus ner anderen Perspektive
> Lg kleene
>
> PS:ich hoffe, die formeln passen etza alle dank
> formelsystem ^^
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sorry, des mit word war auch nicht bös gemeint:)
hatte bis vor kurzem ja selbst lange keins...
also ich hab jetzt nochmal 2 bilder angehänt.
mit noch nem pfeil drin, den hatte ich vergessen
[mm] \vec{a} [/mm] - [mm] (\vec{n}\vec{a}) \vec{n}
[/mm]
der ist gelb. was soll der jetz genau darstellen? sollte das nicht die senkrechte komponente sein?
aber einen verbindungsvektor zwischen den spitzen hab ich immer noch nicht und weiß ich jetz auch nich genau, wo aus meiner rechnung ich den rauspicken soll...?
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...ach ja:
ich habs etza extra nochmal aus einem anderen blickwinkel gemacht.
also entweder schau ich auf das falsche oder ich weiß nich...für mich is da immer noch kein 90° winkel.
das problem ist, in meiner facharbeit muss das wirklich komplett für deppen erklärt werden, d.h. es muss auch irgendwie erkenntlich sein, dass da n 90°winkel ist, sonst versteht das keiner mit der senkrechten und der parallelen komponente...davon hatte ich bis vorhin nämlich auch noch nichts gehört, dass man einen vektor überhaupt in diese 2 zerlegen kann :)
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Hallo!
ich habe es im anderen Beitrag ja schon beschrieben.
Aber ich glaube irgendwie nicht, daß du nicht gehört hast, daß man Vektoren so zerlegen kann. Hattet ihr kein Physik? Da gab es sowas wie das Kräfteparallelogramm. Das geht es genau um die Zerlegung in verschiedene Einzelkräfte bzw Vektoren. Also, zumindest zeichnerisch muß das doch dran gewesen sein?
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Stimmt, Kräfteparallelogramm sagt mir was.
ist auch n gutes stichwort für meine Facharbeit!
Ich konnte mir das nur irgendwie bildlich nicht vorstellen, deswegen bin ich darauf auch nicht gekommen:)
vielen vielen dank!
jetzt hab ich die nacht wenigstens was zu tun:)
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Hallo!
Der gelbe Vektor IST der Verbindungsvektor. Wie gesagt, ein Vektor gibt nur die Differenz zwischen den Koordinaten seines Anfangs und seiner Spitze an. Kannst du den gelben Vektor in dem Programm irgendwie so verschieben, daß er an der Spitze des grünen anfängt? Denn rechnerisch ist das alles OK, jetzt hängt es nur noch an deinem Programm, das du zum Zeichnen benutzt.
Es ist übrigens vielleicht zunächst einfacher, das in 2D zu machen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
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DIESE ZEICHNUNG WAR PERFEKT!!!!
jetzt hab sogar ich es verstanden :)))))
danke :)
und meinen vektor hab ich auch nochmal verschoben:
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Das sieht zwar nicht nach Matrix aus, aber schreibe mal
> [mm]\vec{n}=\vektor{n_x\\n_y\\n_z}[/mm] und gleiches für [mm]\vec{a}.[/mm]
> Setz das ein, und rechne alles so aus, daß da steht:
>
> [mm]\vec{a}_{sX}= \ \Box*a_x+\Box*a_y+\Box*a_z[/mm]
> [mm]\vec{a}_{sY}= \ \Box*a_x+\Box*a_y+\Box*a_z[/mm]
>
> [mm]\vec{a}_{sZ}= \ \Box*a_x+\Box*a_y+\Box*a_z[/mm]
>
> In den Kästchen stehen Ausdrücke mit n drin. Diese Kästchen
> bilden die Komponenten deiner Matrix, die übrigens nix mit
> Winkeln zu tun hat.
>
Wie genau geht das jetzt?
also ich nehm für [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \pmat{ n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} }
[/mm]
ebenso für [mm] \vec{a}
[/mm]
Dann ist deren Skalarprodukt
[mm] n_{1}a_{1} [/mm] + [mm] n_{2}a_{2} [/mm] + [mm] n_{3}a_{3}
[/mm]
Wenn ich das jetzt aber wieder mit [mm] \vec{n} [/mm] multipliziere kann ich doch kein skalarprodukt mehr bilden. sondern muss [mm] n_{1}a_{1} [/mm] + [mm] n_{2}a_{2} [/mm] + [mm] n_{3}a_{3}
[/mm]
mit jeder Komponente von [mm] \vec{n} [/mm] malnehmen, oder? und wie zieh ich das ganze dann wieder von [mm] \vec{a} [/mm] ab?
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Hallo!
Ja, das ist vollkommen richtig, weiter so!
[mm] $\vec{n}*\vec{a}= n_{1}a_{1} [/mm] + [mm] n_{2}a_{2} [/mm] + [mm] n_{3}a_{3} [/mm] $
Wie wir ja festgestellt haben, ist [mm] (\vec{n}*\vec{a})*\vec{n} [/mm] wieder ein Vektor, und demnach ist die zweite Multiplikation KEIN Skalarprodukt:
[mm] (\vec{n}*\vec{a})*\vec{n}=\vektor{(n_{1}a_{1} + n_{2}a_{2} + n_{3}a_{3} )*n_1 \\(n_{1}a_{1} + n_{2}a_{2} + n_{3}a_{3} )*n_2\\(n_{1}a_{1} + n_{2}a_{2} + n_{3}a_{3} )*n_3}
[/mm]
Und das kannst du natürlich schnell von [mm] \vec{a} [/mm] abziehen. Und dann noch geschwind nach den [mm] a_i [/mm] sortieren, so wie ich es gezeigt habe, dann kannst du deine Spiegelmatrix für die Spiegelung einfach ablesen.
Schau dir mal an, daß du im Gegensatz zu den normalen Zahlen nicht einfach drei Vektoren multiplizieren darfst. Die Reihenfolge und die Klammern sind oben extrem wichtig (Naja, die Klammern sind in diesem Beispiel ausnahmsweise nicht nötig), weil sonst was anderes raus kommt.
Ach, wegen der Projektion ansich, schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) das hier
an, und vergiß mal, daß das Vektoren sind. Wenn du den Winkel zwischen b und a kennst, wie lang ist dann dieses projizierte Stück nach den Trigonometrischen Funktionen (Rechtwinkliges Dreieck!)? Und hat das irgendwelche Ähnlichkeit mit [mm] $\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*\cos(\alpha)$? [/mm] Welche, und wenn ja, was muß gelten, damit sie nicht nur ähnlich, sondern auch fast gleich sind? Na, klingelts?
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Ok
.also, wie schon geschrieben
[mm] (\vec{n}\vec{a}) \vec{n} [/mm] = [mm] \pmat{ n_{1} * (n_{1} a_{1} + n_{2} a_{2} + n_{3} a_{3}) \\ n_{2} * (n_{1} a_{1} + n_{2} a_{2} + n_{3} a_{3}) \\ n_{3} * (n_{1} a_{1} + n_{2} a_{2} + n_{3} a_{3}) }
[/mm]
Das muss ich jetzt von [mm] \vec{a} [/mm] abziehen:
[mm] \pmat{ a_{1} - (n_{1} ^2 a_{1} + n_{1} n_{2} a_{2} + n_{1} n_{3} a_{3}) \\ a_{2} - ( n_{1} n_{2} a_{1} + (n_{2} ^2 a_{2} + n_{2} n_{3} a_{3}) \\ a_{3} - (n_{1} n_{3} a_{1} + n_{2} n_{3} a_{2} +n_{3}^2 a_{3} }
[/mm]
Und das jetzt wieder vom oberen.
Also:
[mm] \pmat{ (n_{1} ^2 a_{1} + n_{1} n_{2} a_{2} + n_{1} n_{3} a_{3}) \\ ( n_{1} n_{2} a_{1} + (n_{2} ^2 a_{2} + n_{2} n_{3} a_{3}) \\ (n_{1} n_{3} a_{1} + n_{2} n_{3} a_{2} +n_{3}^2 a_{3} } [/mm] - [mm] \pmat{ a_{1} - (n_{1} ^2 a_{1} + n_{1} n_{2} a_{2} + n_{1} n_{3} a_{3}) \\ a_{2} - ( n_{1} n_{2} a_{1} + (n_{2} ^2 a_{2} + n_{2} n_{3} a_{3}) \\ a_{3} - (n_{1} n_{3} a_{1} + n_{2} n_{3} a_{2} +n_{3}^2 a_{3} }
[/mm]
Löse ich nun die klammer innerhalb der 2.matrix auf, kehren sich die plus zum minus, löse ich dann nochma die klammer von der 2.matrix auf, kehren sich die vorzeichen wieder um und aus [mm] \vec{a} [/mm] wird [mm] \vec{a} [/mm] +!
Oder?
Dann hätten wir:
[mm] \pmat{ -a_{1} + 2 * n_{1} ^2 a_{1} + 2 * n_{1} n_{2} a_{2} + 2 * n_{1} n_{3} a_{3} \\ 2 * n_{1} n_{2} a_{1} a_{2} + 2 * (n_{2} ^2 a_{2} + 2 * n_{2} n_{3} a_{3} \\ 2 * n_{1} n_{3} a_{1} + 2 * n_{2} n_{3} a_{2} - a_{3} + 2 * n_{3}^2 a_{3} }
[/mm]
Puh, ich hoff, ich habs richtig geschrieben.ganz schön anstrengend.
Also damit hab ich fastdes richtige ergebnis rausbekommen :)
Erste und zweite koordinate von [mm] \vec{a_{s}} [/mm] passen, bei der 3. Ist ein unterschied von 0,1
da hab ich wohl irgendwo noch n rechenfehler
auch wenns komisch is, weil auf der graphik passen die vektoren und ihre komponenten ja ganz genau zusammen
.aber den fehler find ich auch noch :)
Schaut des auch so gut aus oder müssen noch irgendwelche komponenten vertauscht werden?
Man bin dir super dankbar für deine viele hilfe! Bist ein schatz! :)
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ups, da ist ein Fehler unterlaufen:
> Dann hätten wir:
> [mm]\pmat{ -a_{1} + 2 * n_{1} ^2 a_{1} + 2 * n_{1} n_{2} a_{2} + 2 * n_{1} n_{3} a_{3} \\ 2 * n_{1} n_{2} a_{1} - a_{2} + 2 * n_{2} ^2 a_{2} + 2 * n_{2} n_{3} a_{3} \\ 2 * n_{1} n_{3} a_{1} + 2 * n_{2} n_{3} a_{2} - a_{3} + 2 * n_{3}^2 a_{3} }[/mm]
> Mittlerweile hab ich auch des komplett richtige ergebnis....4x 43 sollte nicht 173 sein ^^
möchte nur noch wissen, ob das so gut ausschaut, oder ob ich noch iwelche komponenten vertauschen soll... :)
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Hallo!
Respekt, du hast dich wirklich da durchgegraben!
Nun nur noch zusammenfassen:
$ [mm] \pmat{ \blue{(2 \cdot{} n_{1} ^2 -1)a_{1}} + 2 \cdot{} n_{1} n_{2} a_{2} + 2 \cdot{} n_{1} n_{3} a_{3} \\ ...\\...} [/mm] $
und das a rausziehen:
$ [mm] \pmat{ (2 \cdot{} n_{1} ^2 -1) & 2 \cdot{} n_{1} n_{2} & 2 \cdot{} n_{1} n_{3} \\ ...&...&...\\...&...&...} \vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}$
[/mm]
und fertig!
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