www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Spielautomat Wahrscheinlichk.
Spielautomat Wahrscheinlichk. < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Spielautomat Wahrscheinlichk.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 Di 02.03.2010
Autor: kushkush

Aufgabe
1. Bei einem Spielautomat ist die Gewinnwahrscheinlichkeit auf 0.35 eingestellt.

a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer Serie von 12 Spielen mehr als zweimal gewinnt?
b) Drei Spieler A,B und C spielen in dieser Reihenfolge solange, bis der erste gewinnt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler C den Sieg davon trägt?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man bei einer Versuchsserie von 80 Spielen mehr als 25 mal?
d) Da man bei einer Serie von 200 Spielen nur 55 Mal gewonnen hat, vermutet man, dass der Automatenbesitzer die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielautomates herabgesetzt hat. Kann man aus dieser Versuchsserie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 2% schliessen, dass die Vermutung zutrifft?  

Guten Abend,


1. a) $P(1)= [mm] 1\cdot 0.65^{12}$, [/mm] $P(2)= [mm] 12\cdot 0.35\cdot 0.65^{11}$, [/mm] $P(3)= 66 [mm] \cdot [/mm] 0.35 ^{3} [mm] \cdot [/mm] 0.65 ^{10}$, alles zusammengezählt und von $1$ abgezogen ergibt: $0.8487$ bzw. 84.89 %.

b) unendliche geometrische Reihe?  Sehe aber nicht wie ich diesen Gedanken weiterverwenden könnte ...

c)Habe hier mit zwei Formeln gerechnet und zwei verschiedene Resultate erhalten:
erstens mit :
$z = [mm] \frac{X-E(X)}{\sigma}$ [/mm]  (wusste nicht ob ich $0.5$ von X abziehen muss oder nicht...) ; ergibt $0.758$, also für 75.8%.

zweitens mit:
P(x_1 \leq X \leq x_2) = \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}} \approx \underbrace{\Phi\left(\frac{x_2+0,5-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\frac{x_1-0,5-\mu}{\sigma}\right)}_{\mathrm{NV}}\,


ergibt mir aber 79.9% ...

Welches ist nun richtig?

d) Die Hypothese ist dass [mm] $H_{1} [/mm] = < 0.35$ und [mm] $H_{0} [/mm] = >0.35$

[mm] $z=\frac{55-70}{\sqrt{70\cdot0.65}}=-2.2237$ [/mm] ; [mm] $\phi{-2.2237} [/mm] = 1 - 0.98679 = 0.01321$; $P(55<X) = 1-0.01321 = 0.98679$

Jetzt habe ich doch eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 2% (also Signifikanzniveau von 2% (?)), wie gehe ich nun vor um den Ablehnungsbereich zu erhalten?



Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.



        
Bezug
Spielautomat Wahrscheinlichk.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:30 Mi 03.03.2010
Autor: steppenhahn

Hallo kushkush,

> 1. Bei einem Spielautomat ist die Gewinnwahrscheinlichkeit
> auf 0.35 eingestellt.
>
> a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer
> Serie von 12 Spielen mehr als zweimal gewinnt?
>  b) Drei Spieler A,B und C spielen in dieser Reihenfolge
> solange, bis der erste gewinnt. Wie gross ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass Spieler C den Sieg davon trägt?
>  c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt man bei einer
> Versuchsserie von 80 Spielen mehr als 25 mal?
> d) Da man bei einer Serie von 200 Spielen nur 55 Mal
> gewonnen hat, vermutet man, dass der Automatenbesitzer die
> Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielautomates herabgesetzt
> hat. Kann man aus dieser Versuchsserie mit einer
> Irrtumswahrscheinlichkeit von 2% schliessen, dass die
> Vermutung zutrifft?
> Guten Abend,
>  
>
> 1. a) [mm]P(1)= 1\cdot 0.65^{12}[/mm], [mm]P(2)= 12\cdot 0.35\cdot 0.65^{11}[/mm],
> [mm]P(3)= 66 \cdot 0.35 ^{3} \cdot 0.65 ^{10}[/mm], alles
> zusammengezählt und von [mm]1[/mm] abgezogen ergibt: [mm]0.8487[/mm] bzw.
> 84.89 %.

Das ist zwar etwas seltsam notiert (p(1) sollte eigentlich p(0) sein, oder?) aber ansonsten okay.

> b) unendliche geometrische Reihe?  Sehe aber nicht wie ich
> diesen Gedanken weiterverwenden könnte ...

Ja, so ist es wahrscheinlich.
Uns interessiert, dass der ERSTE Gewinn beim Spielautomaten entweder beim 3. Versuch, beim 6. oder beim 9. usw. auftritt.

In Zahlen:

[mm] 0.65^{2}*0.35 [/mm] (3. Mal Erfolg) oder
[mm] 0.65^{5}*0.35 [/mm] (6. Mal Erfolg) oder
[mm] 0.65^{8}*0.35 [/mm] (9. Mal Erfolg) oder
...

Das muss nun alles zusammenaddiert werden:

[mm] $0.65^{2}*0.35+0.65^{5}*0.35+0.65^{8}*0.35+...$ [/mm]

Man kommt zur unendlichen Summe:

$p = [mm] \summe_{k=0}^{infinity}0.65^{3k+2}*0.35$ [/mm]

Die vereinfachst du jetzt:

$= [mm] 0.35*0.65^{2}*\summe_{k=0}^{infinity}0.65^{3k}$ [/mm]

$= [mm] 0.147875*\summe_{k=0}^{infinity}0.274625^{k}$ [/mm]

Nun nur noch geometrische Summenformel anwenden!
(Der letzte Schritt in der Summe entstand durch Potenzgesetze: [mm] 0.65^{3k} [/mm] = [mm] (0.65^3)^k [/mm] )

Ich komme auf p = 0.2038600724.


> c)Habe hier mit zwei Formeln gerechnet und zwei
> verschiedene Resultate erhalten:
> erstens mit :
> [mm]z = \frac{X-E(X)}{\sigma}[/mm]  (wusste nicht ob ich [mm]0.5[/mm] von X
> abziehen muss oder nicht...) ; ergibt [mm]0.758[/mm], also für
> 75.8%.

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was du hier gerechnet hast.

> zweitens mit:
> P(x_1 \leq X \leq x_2) = \underbrace{\sum_{k=x_1}^{x_2} {n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}_{\mathrm{BV}} \approx \underbrace{\Phi\left(\frac{x_2+0,5-\mu}{\sigma}\right) -\Phi\left(\frac{x_1-0,5-\mu}{\sigma}\right)}_{\mathrm{NV}}\,
>  
>
> ergibt mir aber 79.9% ...

Wenn ich das ausrechne, komme ich auf 72,11%...
Du musst für [mm] x_1=26, x_2 [/mm] = 80 einsetzen.
Bei mir ist [mm] \mu [/mm] = 28, [mm] \sigma [/mm] = 4.266.

> Welches ist nun richtig?

Exakt richtig ist 71.83%. Rechnen würde ich es bei dir mit der zweiten Variante.

> d) Die Hypothese ist dass [mm]H_{1}:p < 0.35[/mm] und [mm]H_{0} :p \ge 0.35[/mm]

Genau (achte auf meine Modifikationen!)

> [mm]z=\frac{55-70}{\sqrt{70\cdot0.65}}=-2.2237[/mm] ; [mm]\phi{-2.2237} = 1 - 0.98679 = 0.01321[/mm];
> [mm]P(55
>  
> Jetzt habe ich doch eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 2%
> (also Signifikanzniveau von 2% (?)), wie gehe ich nun vor
> um den Ablehnungsbereich zu erhalten?

Genau, das Signifikanzniveau [mm] \alpha [/mm] ist 0.02.
Da du nicht eine "konkrete" Gegenhypothese, also eine mit einer zweiten Wahrscheinlichkeit hast, brauchen wir einen gleichmäßig besten Test.

$P(k<k*) = 0.02 = [mm] \alpha$ [/mm]

Du musst das k* bestimmen, für das diese Gleichung noch erfüllt ist.
Dann ist (0,...,k*) der Bereich, bei welchem der Alternativhypothese H1 zugestimmt wird.

P ist dabei wieder Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung mit 0.35 = p und n  = 200.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Spielautomat Wahrscheinlichk.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:26 Mi 03.03.2010
Autor: kushkush

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Danke steppenhahn!




Ich habe den letzten Teil so gelöst (Versuch, die kritische Zahl zu bestimmen...):

da $0.02 = 1-.98$ ist, habe ich in der Tabelle den inversen Wert zu $.98$ gesucht, das ist ungefähr $2.06$. Dann habe ich das so versucht zu lösen:

$2.06 = \frac{k-70}{\sqrt{70\cdot 0.65}$

aufgelöst nach k ergibt das allerdings $78.22$ ... das stimmt doch nicht ?!


Bezug
                        
Bezug
Spielautomat Wahrscheinlichk.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:06 Mi 03.03.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Danke steppenhahn!
>
>
>
>
> Ich habe den letzten Teil so gelöst (Versuch, die
> kritische Zahl zu bestimmen...):
>
> da [mm]0.02 = 1-.98[/mm] ist, habe ich in der Tabelle den inversen
> Wert zu [mm].98[/mm] gesucht, das ist ungefähr [mm]2.06[/mm]. Dann habe ich
> das so versucht zu lösen:
>
> [mm]2.06 = \frac{k-70}{\sqrt{70\cdot 0.65}[/mm]
>
> aufgelöst nach k ergibt das allerdings [mm]78.22[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

... das

> stimmt doch nicht ?!

Das stimmt nicht. Du musst

$\red{-}2.06 = \frac{k-70}{\sqrt{70\cdot 0.65}$

als Ausgangsgleichung nehmen!
Es geht doch um die Wahrscheinlichkeit für 0.02, und du benutzt die für 0.98 nur als Hilfe.
Du weißt nun also, dass \Phi(z) = 0.98, wenn z = 2.06. Wir wollen aber wissen, für welches z gilt, dass \phi(z) = 0.02 ist!

Also: 0.02 = 1 - 0.98 = 1-\Phi(2.06) = \Phi(-2.06).

Okay?
Man kommt dann auf k* = 56; mit exakter Rechnung (also Binomialverteilung) würde man auf k* = 55 kommen. Ist aber egal: In beiden Fällen ist der Bereich, wo man sich für H1 entscheidet, gerade noch so, dass 55 drin ist.

(0,...,56)
bzw.
(0,...,55)

ist nämlich dann der Annahmebereich für die H1.

Man entscheidet sich also für H1.

Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Spielautomat Wahrscheinlichk.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Mi 03.03.2010
Autor: kushkush

Danke danke danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]