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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Di 10.11.2009 | | Autor: | Janina09 |
| Aufgabe | Peter denkt sich eine natürliche Zahl zwischen 1 und 20.
Egon und Otto sollen diese raten. Egon fragt nach der Reihe " Ist die Zahl 1"...
Otto fragt mit dem Ziel der Halbierung "Ist die Zahl größer als 10?"..
Wessen Strategie ist besser? Bestimme den Erwartungswert! |
Also ich habe zunächst Egons Strategie untersucht:
und da er jede Zahl einzeln durchfragt ist die Wahrscheinlichkeit ja 1/20
und der Erwartungswert: 1/20 mal (1+2+3...+20) = 10,5
Bei Otto bin ich nicht weiter gekommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Di 10.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Peter denkt sich eine natürliche Zahl zwischen 1 und 20.
> Egon und Otto sollen diese raten. Egon fragt nach der
> Reihe " Ist die Zahl 1"...
> Otto fragt mit dem Ziel der Halbierung "Ist die Zahl
> größer als 10?"..
>
> Wessen Strategie ist besser? Bestimme den Erwartungswert!
> Also ich habe zunächst Egons Strategie untersucht:
> und da er jede Zahl einzeln durchfragt ist die
> Wahrscheinlichkeit ja 1/20
>
> und der Erwartungswert: 1/20 mal (1+2+3...+20) = 10,5
>
>
> Bei Otto bin ich nicht weiter gekommen?
Es geht um den Erwartungswert dafür, wie viele Versuche man braucht.
Wenn man die Frage "Größer als 10" als ersten versuch zählt, braucht man höchstens 11 Versuche.
Es ist nicht klar, ob die Strategie weiter verfolgt werden soll. Wenn man anschließend "größer als 15" oder bei Zahlen kleiner 10 "kleiner 6?" fragt, kann man die Zahl der Fragen weiter reduzieren.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 10.11.2009 | | Autor: | Janina09 |
Ja, für die 1,2,3 gibt es ja dann 4 Fragen aber mit welchen Wahrscheinlichkeiten muss ich da rechnen? mit 0,5
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Di 10.11.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
die Zahl,
die Peter sich denkt,
sei z.B. sechs.
Egon fängt an,
Peter antwortet, ohne daß Otto mithört,
dann entsprechendes für Otto,
dann wieder Egon usw.
Egon: " Ist die Zahl 1?"
Peter: " Nein."
Otto: " Ist die Zahl größer als 10?"
Peter: "Nein."
Egon: " Ist die Zahl 2?"
Peter: " Nein."
Otto: " Ist die Zahl größer als 5?"
Peter: "Ja."
Egon: " Ist die Zahl 3?"
Peter: " Nein."
Otto: " Ist die Zahl größer als 7?"
Peter: "Nein."
Egon: " Ist die Zahl 4?"
Peter: " Nein."
Otto: "Ist die Zahl größer als 6?
Peter: " Nein."
Egon: " Ist die Zahl 5?"
Peter: " Nein."
Otto: "Die Zahl ist größer als 5 und nicht größer als 6?
Die Zahl ist sechs!"
Peter:"Ja".
Nach vier Fragen stand für Otto die Antwort fest,
Otto war noch nicht so weit.
Hätte Peter statt an sechs an z.B. zwei gedacht,
sähe die Sache anders aus:
Egon hätte mit seiner zweiten Frage Erfolg gehabt,
Otto wüßte nach seiner zweiten Frage nur,
daß die gesuchte Zahl
nicht größer als 10 höchstens gleichgroß wie 5
ist.
Aber nach weiteren zwei Fragen ("Ist die Zahl größer als zwei?"
und "Ist die Zahl größer als eins?") stände auch für Otto die Antwort fest.
Wiederum vier Fragen bei Otto.
Otto's Strategie heißt "divide and conquer": teile und herrsche.
Nach spätestens fünf Fragen wird Otto in jedem Fall die Antwort kennen,
während Egon im schlimmsten Fall (Peter denkt an zwanzig)
20 mal fragen muß.
Wessen Strategie ist somit besser?
Der gefragte Erwartungswert bei Egon:
[mm] $\frac{1}{20}*1+\frac{1}{20}*2+\ldots +\frac{1}{20}*20=\frac{1}{20}*\frac{20*21}{2}=10\frac{1}{2}$.
[/mm]
Der gefragte Erwartungswert bei Otto liegt zwischen $4$ und $5$ (s.o.).
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Di 10.11.2009 | | Autor: | Janina09 |
Ja also das für Egon hab ich auch so und die 4 Fragen bei Otto auch aber wie rechne ich die Wahrscheinlichkeiten bei Otto aus, das versteh ich nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Di 10.11.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag
die "Wahrscheinlichkeiten bei Otto" sind dieselben,
wie die bei Egon!
Denn es sind ja die Wahrscheinlichkeiten gemeint,
daß Peter an die Zahl denkt.
Unterstellt,
Peter bevorzugt keine Zahl,
dann ist [mm] $\frac{1}{20}$ [/mm] die fragliche Wahrscheinlichkeit für alle Zahlen.
Nun muß man bei Otto (etwas mühsam) bestimmen,
wieviel Versuche er für die Zahl 1 benötigt,
wieviel Versuche für die Zahl 2,
usw. bis
wieviel Versuche er für die Zahl 20 benötigt.
Diese Versuchsanzahlen gewichtet man mit der Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Zahl [mm] ($=\frac{1}{20}$),
[/mm]
addiert die Produkte auf und hat den Erwartungswert für Otto bestimmt.
Schönen Gruß
Karsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Di 10.11.2009 | | Autor: | Janina09 |
ok, also bei 1,2,3,6,7,8,11,12,13,16,17,18 = 4 Versuche
rechne ich dann 1/20 mal 4?
und beim rest sind es ja 5 versuche
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Di 10.11.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
ich habe die Anzahl der Versuche nicht selbst bestimmt,
aber angenommen
für 1 bis 18 braucht Otto 4 Versuche und für 19 und 20 fünf Versuche,
dann wäre
[mm] $E(X)=18*\frac{1}{20}*4+2*\frac{1}{20}*5$.
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
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