Spline-Interpolation (kubisch) < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden Messdaten:
i 0 1 2 3
[mm] x_i [/mm] -1 0 1 2
[mm] y_i [/mm] -5 10 10 -5
Betrachten Sie die Zerlegung [mm]T = {[−1, 0], [0, 1], [1, 2]}[/mm].
a) Berechnen Sie den natürlichen kubischen Spline [mm]s(x) \in S_{3,T} .[/mm]
b) Bestimmen Sie die Momente für den vollständigen kubischen Spline mit zu interpolierenden
Ableitungsdaten [mm]s'(x_0 ) = 2[/mm] und [mm]s'(x_n) = 1[/mm].
c) Bestimmen Sie die Momente für den kubischen Spline der den zusätzlichen Bedingungen [mm]s'(x_0 ) = 2[/mm] und [mm]s''(x_2) = 42[/mm] genügt. |
Guten Abend :)
Zu a:
Ich habe das Thema lineare Splines verstanden und konnte auch die Übungen lösen. Nur tue ich mir jetzt mit den kubischen total schwer.
Ich weiß, dass n + 3 Interpolationsbedingungen vorgeben sein müssen, um einen
eindeutigen kubischen interpolierenden Spline [mm]s \in S_{3,T}[/mm] zu bestimmen.
Sind das die Bedinungen?
[mm]s(-1) = f(-1) = -5[/mm]
[mm]s(0) = f(0) = 10[/mm]
[mm]s(1) = f(1) = 10[/mm]
[mm]s(2) = f(2) = -5[/mm]
Außerdem muss für einen natürlichen kubischen Spline gelten:
[mm]s''(a) = 0[/mm]
[mm]s''(b) = 0[/mm]
Weiter weiß ich aber auch nicht :/
Könnt Ihr mir bitte weiterhelfen :(
Also lineare Splines habe ich verstanden, also von da aus aufbauend könnte ich es bestimmt verstehen.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 19.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Gegeben seien die folgenden Messdaten:
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> i 0 1 2 3
> [mm]x_i [/mm] -1 0 1 2
> [mm]y_i [/mm] -5 10 10 -5
>
> Betrachten Sie die Zerlegung [mm]T = {[−1, 0], [0, 1], [1, 2]}[/mm].
>
> a) Berechnen Sie den natürlichen kubischen Spline [mm]s(x) \in S_{3,T} .[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie die Momente für den vollständigen
> kubischen Spline mit zu interpolierenden
> Ableitungsdaten [mm]s'(x_0 ) = 2[/mm] und [mm]s'(x_n) = 1[/mm].
> c)
> Bestimmen Sie die Momente für den kubischen Spline der den
> zusätzlichen Bedingungen [mm]s'(x_0 ) = 2[/mm] und [mm]s''(x_2) = 42[/mm]
> genügt.
>
>
> Guten Abend :)
>
> Zu a:
>
> Ich habe das Thema lineare Splines verstanden und konnte
> auch die Übungen lösen. Nur tue ich mir jetzt mit den
> kubischen total schwer.
>
> Ich weiß, dass n + 3 Interpolationsbedingungen vorgeben
> sein müssen, um einen
> eindeutigen kubischen interpolierenden Spline [mm]s \in S_{3,T}[/mm]
> zu bestimmen.
>
> Sind das die Bedinungen?
>
> [mm]s(-1) = f(-1) = -5[/mm]
> [mm]s(0) = f(0) = 10[/mm]
> [mm]s(1) = f(1) = 10[/mm]
>
> [mm]s(2) = f(2) = -5[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Außerdem muss für einen natürlichen kubischen Spline
> gelten:
>
> [mm]s''(a) = 0[/mm]
> [mm]s''(b) = 0[/mm]
>
> Weiter weiß ich aber auch nicht :/
Da fehlt auch noch was.
> Könnt Ihr mir bitte weiterhelfen :(
Klar.
Es fehlt dir der komplette Ansatz!
Stelle zunächst $s(x)=...$ für die Unterteilungen $T$ auf.
Es fehlt dir aber noch die sogenannte Stetigkeit, also:
$s(x)$, $s'(x)$, $s''(x)$.
Danach kommen die natürlichen Randbedingung. Diese hast du
bereits richtig formuliert. Setzte nun $a:=0$ und $b:=2$.
> Also lineare Splines habe ich verstanden, also von da aus
> aufbauend könnte ich es bestimmt verstehen.
>
> Liebe Grüße
Viel Spaß, ich gehe nun Fußball gucken. 
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mi 19.02.2014 | | Autor: | Mopsi |
Halllloooo Acht :)
Ich hoffe es geht dir gut :)
Bei uns im Skript steht:
Die Vorgehensweise ist also: 1. LGS zur Berechnung der Momente aufstellen, 2. Momente berechnen,
3. Damit Ableitungswerte berechnen, 4. In Formel (3.3) einsetzen.
Ein Moment ist definiert als [mm]M_i = s''(x_i)[/mm].
Nun soll ich dieses Gleichungssystem lösen:
[mm] \pmat{ \alpha_1 & 2 & 1 - \alpha_1 & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & \alpha_2 & 1 - \alpha_2 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & \alpha_3 & 2 & 1 - \alpha_3 & 0 \\ \cdots & \cdots} * \vektor{M_0 \\ M_1 \\ \cdots \\ M_n} = 6* \vektor{[x_0,x_1,x_2]s \\ [x_1,x_2,x_3]s \\ \cdots \\ [x_{n-2},x_{n-1},x_n]s }[/mm]
Außerdem ist [mm]\alpha_i = \frac{h_i}{h_i + h_{i+1}}[/mm] . Bei äquidistanten Stützstellen gilt αi = 1 − αi = 1/2.
Also konkret:
[mm]\pmat{ \frac{1}{2} & 2 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0& \frac{1}{2}& 2 & \frac{1}{2} } * \vektor{M_0 \\ M_1 \\ \cdots \\ M_n} = 6* \vektor{[x_0,x_1,x_2]s \\ [x_1,x_2,x_3]s }[/mm]
So jetzt muss ich das GLS noch um zwei Bedinungen erweitern, damit ich 4 Zeilen bekomme.
Leider weiß ich hier aber nicht weiter :(
Wer spielt denn? :P
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 19.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Mopsi,
Wie kommst du auf die Idee mit der Teilaufgabe b) weiter zu
machen, wenn du doch die erste Teilaufgabe noch nicht hast?
Du sollst bei a) den natürlichen kubischen Spline [mm] $s\in S_{3,T}$ [/mm] berechnen!
Dein $T$ hast du übrigens falsch abgeschrieben, denn so wie
es dort steht macht es keinen Sinn.
Du hast [mm] $x_0=-1$, $x_1=0$, $x_2=1$ [/mm] und [mm] $x_3=2$ [/mm] zur Verfügung,
sodass du folgendes über deinen natürlichen Spline [mm] $s\in S_{3,T}$ [/mm] weißt:
$s(-1)=-5$,
$s(0)=10$,
$s(1)=10$,
$s(2)=-5$.
Deshalb musst du (hier) folgende Unterteilung $T$ betrachten:
[mm] T=[-1,0]\cup[0,1]\cup[1,2].
[/mm]
Dein Ansatz könnte dann folgende Form haben:
[mm] s(x)=\begin{cases} ..., & \mbox{für } x\in[-1,0] \\ ..., & \mbox{für } x\in(0,1] \\ ..., & \mbox{für } x\in(1,2]\end{cases}.
[/mm]
Die Zahl $3$ zeigt dir, dass nach einem Polynom dritten
Grades gesucht wird.
Beachte, dass ich an gewissen Stellen runde Klammern gesetzt
habe. Deshalb brauchst du auch die sogenannte "Stetigkeit" von
$s(x)$, $s'(x)$ und $s''(x)$.
Erst danach kümmerst du dich um die natürlichen Randbedingung
$s''(-1)=s''(2)$.
Bei dem Ansatz oben kann zum Beispiel bei einer Zeile
folgendes stehen:
[mm] $a_0+b_0x+c_0x^2+d_0x^3$.
[/mm]
Bei der nächsten Teile dann folgendes:
[mm] $a_1+b_1x+c_1x^2+d_1x^3$.
[/mm]
(Beachte, dass das hier erfunden ist und du es anhand der
Aufgabenstellung entnehmen musst!)
Dann berechnest du alles und kommst auf dein [mm] $s\in S_{3,T}$.
[/mm]
Erst danach kümmerst du dich um die zweite Teilaufgabe.
Gruß
DieAcht
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