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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Man bestimme (rundungsfrei) die zu den Werten
[mm] \begin{matrix}
i & | & 0 & | & 1 & | & 2 & | & 3 & | & 4 \\
x_i & | & -2 & | & -1 & | & 0 & | & 1 & | & 2 \\
y_i & | & 0 & | & 0 & | & 1 & | & 0 & | & 0
\end{matrix}
[/mm]
gehörige natürliche Spline Interpolierende. |
Ich bin an die Aufgabe über den hier Spline Ansatz geschilderten Ansatz heran gegangen. Dann bekomme ich:
[mm] h_i=1 \forall [/mm] i
[mm] a_i=\bruch{S_{i+1}-S_i}{6}
[/mm]
[mm] b_i=\bruch{S_i}{2}
[/mm]
[mm] c_i=(y_i+1-y_i) [/mm] - [mm] \bruch{2S_i + S_{i+1}}{6}
[/mm]
[mm] d_i=y_i
[/mm]
Jetzt muss ich das GLS aufstellen um die [mm] S_i [/mm] zu bekommen. Dann erhalte ich:
[mm] \pmat{ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 4}*\pmat{S_1 \\ S_2 \\ S_3} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
damit dann:
[mm] S_1 [/mm] = [mm] \bruch{3}{7}, S_2 [/mm] = [mm] -\bruch{5}{7}, S_3 [/mm] = [mm] \bruch{3}{7},
[/mm]
wenn ich das nin einsetze bekomme ich:
[mm] a_0= \bruch{1}{21}, a_1=-\bruch{4}{21}, a_2=\bruch{4}{21}, a_3=-\bruch{1}{21}
[/mm]
[mm] b_0=0, b_1 [/mm] = [mm] \bruch{2}{14}, b_2=-\bruch{5}{14}, b_3=\bruch{3}{14}
[/mm]
[mm] c_0=-\bruch{1}{21}, c_1=\bruch{20}{21}, c_2=-\bruch{7}{6} c_3=-\bruch{1}{7}
[/mm]
[mm] d_0=0, d_1=0, d_2=1, d_3=0
[/mm]
daraus erhalte ich dann die etsprechenden Kubischen Polynome zwischen den Stützstellen:
[mm] s_0(x)=\bruch{1}{21}x^3-\bruch{1}{21}x
[/mm]
[mm] s_1(x)=-\bruch{4}{21}x^3+\bruch{2}{14}x^2+\bruch{20}{21}
[/mm]
[mm] s_2(x)=\bruch{4}{21}x^3-\bruch{5}{14}x^2-\bruch{7}{6}x+1
[/mm]
[mm] s_3(x)=-\bruch{1}{21}x^3+\bruch{3}{14}x^2-\bruch{1}{7}x
[/mm]
Wobei ich wie mir jetzt auffällt das [mm] h_i [/mm] fallsch definiert habe ... wobei es mir aber eigentlich ging ist:
1) gibt es nicht noch einen einfacherern weg? die aufgabe ist aus einer klausur und ich finde das dieser weg dioch recht aufwendig ist oder? vllt einen trick in diesem fall?
2) Wie bekomme ich jetzt aus meinen Polynomen meine gesamtfkt? bzw bekomme ich das überhaupt?
Gruß Zerwas
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> Man bestimme (rundungsfrei) die zu den Werten
> [mm]\begin{matrix}
i & | & 0 & | & 1 & | & 2 & | & 3 & | & 4 \\
x_i & | & -2 & | & -1 & | & 0 & | & 1 & | & 2 \\
y_i & | & 0 & | & 0 & | & 1 & | & 0 & | & 0
\end{matrix}[/mm]
>
> gehörige natürliche Spline Interpolierende.
Hallo,
zunächst einmal fällt auf, daß die Stützstellen sehr symmetrisch sind, so daß man wirklich errechen nur zwei der Interpolationspolynome muß.
Als nächstes kann man sehen, daß man das erste Polynom schon fast kennt, es hat die Gestalt
[mm] s_0=a(x+2)(x+1)(x-b), [/mm]
und beim zweiten kennt man immerhin schon eine Nullstelle, so daß man sich nur mit
[mm] s_1=(x+1)(cx^2+dx+e) [/mm] beschäftigen muß, und man sieht auch gleich, daß e=1 sein muß,
also ist [mm] s_1=(x+1)(cx^2+dx+1).
[/mm]
Das reduziert die Anzahl der Variablen ja doch sehr, ich zähle nur noch 4 statt 16.
Gruß v. Angela
> Ich bin an die Aufgabe über den hier
> Spline Ansatz
> geschilderten Ansatz heran gegangen. Dann bekomme ich:
>
> [mm]h_i=1 \forall[/mm] i
> [mm]a_i=\bruch{S_{i+1}-S_i}{6}[/mm]
> [mm]b_i=\bruch{S_i}{2}[/mm]
> [mm]c_i=(y_i+1-y_i)[/mm] - [mm]\bruch{2S_i + S_{i+1}}{6}[/mm]
> [mm]d_i=y_i[/mm]
>
> Jetzt muss ich das GLS aufstellen um die [mm]S_i[/mm] zu bekommen.
> Dann erhalte ich:
> [mm]\pmat{ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 4}*\pmat{S_1 \\ S_2 \\ S_3}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> damit dann:
> [mm]S_1[/mm] = [mm]\bruch{3}{7}, S_2[/mm] = [mm]-\bruch{5}{7}, S_3[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{7},[/mm]
>
> wenn ich das nin einsetze bekomme ich:
> [mm]a_0= \bruch{1}{21}, a_1=-\bruch{4}{21}, a_2=\bruch{4}{21}, a_3=-\bruch{1}{21}[/mm]
>
> [mm]b_0=0, b_1[/mm] = [mm]\bruch{2}{14}, b_2=-\bruch{5}{14}, b_3=\bruch{3}{14}[/mm]
>
> [mm]c_0=-\bruch{1}{21}, c_1=\bruch{20}{21}, c_2=-\bruch{7}{6} c_3=-\bruch{1}{7}[/mm]
>
> [mm]d_0=0, d_1=0, d_2=1, d_3=0[/mm]
>
> daraus erhalte ich dann die etsprechenden Kubischen
> Polynome zwischen den Stützstellen:
> [mm]s_0(x)=\bruch{1}{21}x^3-\bruch{1}{21}x[/mm]
> [mm]s_1(x)=-\bruch{4}{21}x^3+\bruch{2}{14}x^2+\bruch{20}{21}[/mm]
> [mm]s_2(x)=\bruch{4}{21}x^3-\bruch{5}{14}x^2-\bruch{7}{6}x+1[/mm]
> [mm]s_3(x)=-\bruch{1}{21}x^3+\bruch{3}{14}x^2-\bruch{1}{7}x[/mm]
>
> Wobei ich wie mir jetzt auffällt das [mm]h_i[/mm] fallsch definiert
> habe ... wobei es mir aber eigentlich ging ist:
> 1) gibt es nicht noch einen einfacherern weg? die aufgabe
> ist aus einer klausur und ich finde das dieser weg dioch
> recht aufwendig ist oder? vllt einen trick in diesem fall?
> 2) Wie bekomme ich jetzt aus meinen Polynomen meine
> gesamtfkt? bzw bekomme ich das überhaupt?
>
> Gruß Zerwas
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