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Spline Interpolation: Koeffizienten berechnen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Mi 16.06.2010
Autor: Temson

Aufgabe
Bestimmen sie die Koeffizienten der kubischen Spline Interpolation mit der Ansatzfunktion:
[mm] S_{j}(x)=a_{j}+b_{j}*(x-x_{j})+c_{j}*(x-x_{j})^{2}+d_{j}*(x-x_{j})^{3} [/mm]
auf den Intervallen [mm] [x_{j}, x_{j+1}], [/mm] j= 0,1,2 mit folgenden Daten
j =  0; 1; 2; 3;
[mm] x_{j} [/mm] =  0; 0,5; 1; 2;
[mm] f(x_{j}) [/mm] = -0,5; 0; 1; 6;
Beachte dass [mm] S''(x_{0})=S''(x_{3}) [/mm] = 0

Hallo erstmal!

Meine Frage bezieht sich auf die Berechnung der Koeffizienten a, b, c, d für j = 0,1,2;
Als erste habe ich angefangen mit den [mm] a_{j}, [/mm] weil diese ja gleich [mm] f(x_{j}) [/mm] sind, da beim Einsetzen alle anderen Terme zu 0 werden (Richtig?!).

Ich weiß auch, dass für die Stetigkeit gilt:
[mm] S_{j}(x_{j+1}) [/mm] = [mm] S_{j+1}(x_{j+1}) [/mm]

und für die Glattheitseigenschaften:
[mm] S'_{j}(x_{j+1}) [/mm] = [mm] S'_{j+1}(x_{j+1}) [/mm]
das gleiche gilt für die zweite Ableitung.

Ich habe versucht mich an diese Erklärung zu halten, kam aber nicht wirklich damit klar:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm

Wie kann ich nun an die weiteren Koeffizienten herankommen.
Wäre für jegliche Hilfe die mir den Abend leichter macht dankbar.

Grüße T

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Spline Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Mi 16.06.2010
Autor: MathePower

Hallo Temson,


[willkommenmr]


> Bestimmen sie die Koeffizienten der kubischen Spline
> Interpolation mit der Ansatzfunktion:
>  
> [mm]S_{j}(x)=a_{j}+b_{j}*(x-x_{j})+c_{j}*(x-x_{j})^{2}+d_{j}*(x-x_{j})^{3}[/mm]
>  auf den Intervallen [mm][x_{j}, x_{j+1}],[/mm] j= 0,1,2 mit
> folgenden Daten
>  j =  0; 1; 2; 3;
>  [mm]x_{j}[/mm] =  0; 0,5; 1; 2;
>  [mm]f(x_{j})[/mm] = -0,5; 0; 1; 6;
>  Beachte dass [mm]S''(x_{0})=S''(x_{3})[/mm] = 0
>  
> Hallo erstmal!
>  
> Meine Frage bezieht sich auf die Berechnung der
> Koeffizienten a, b, c, d für j = 0,1,2;
>  Als erste habe ich angefangen mit den [mm]a_{j},[/mm] weil diese ja
> gleich [mm]f(x_{j})[/mm] sind, da beim Einsetzen alle anderen Terme
> zu 0 werden (Richtig?!).
>
> Ich weiß auch, dass für die Stetigkeit gilt:
>  [mm]S_{j}(x_{j+1})[/mm] = [mm]S_{j+1}(x_{j+1})[/mm]
>  
> und für die Glattheitseigenschaften:
>  [mm]S'_{j}(x_{j+1})[/mm] = [mm]S'_{j+1}(x_{j+1})[/mm]
>  das gleiche gilt für die zweite Ableitung.
>  
> Ich habe versucht mich an diese Erklärung zu halten, kam
> aber nicht wirklich damit klar:
>  http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm
>  
> Wie kann ich nun an die weiteren Koeffizienten
> herankommen.


Um an die weiteren Koeffizienten heranzukommen,
mußt Du die fehlenden Bestimmungsgleichungen aufstellen.


>  Wäre für jegliche Hilfe die mir den Abend leichter macht
> dankbar.
>  
> Grüße T
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Spline Interpolation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Mi 16.06.2010
Autor: Temson

Okay, Vielen Dank!

Aber woraus genau stelle ich diese Bestimmungsgleichungen auf? Ich glaube ich habe ein Grundlegendes Problem mit dem Ansatz.

Gruß T

Bezug
                        
Bezug
Spline Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mi 16.06.2010
Autor: MathePower

Hallo Temson,

> Okay, Vielen Dank!
>  
> Aber woraus genau stelle ich diese Bestimmungsgleichungen
> auf? Ich glaube ich habe ein Grundlegendes Problem mit dem
> Ansatz.

In der Aufgabe ist die Bedingung

[mm]S''\left(x_{0}\right)=S''\left(x_{3}\right)=0[/mm]

gegeben. Daraus folgen 2 Bedingungsgleichungen.

Dann muss für die inneren Punkte [mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm] gelten:

[mm]S_{j}\left(x_{j+1}\right)=S_{j+1}\left(x_{j+1}\right)[/mm]

[mm]S'_{j}\left(x_{j+1}\right)=S'_{j+1}\left(x_{j+1}\right)[/mm]

[mm]S''_{j}\left(x_{j+1}\right)=S''_{j+1}\left(x_{j+1}\right)[/mm]

Dies sind dann 6 weitere Bedingungsgleichungen.

Außerdem muß noch gelten: [mm]S_{2}\left(x_{3}\right)=f\left(x_{3}\right)[/mm]

Zusammen mit den bereits erstellten Bedingungsgleichungen
ergeben sich die weiteren Koeffizienten.


>  
> Gruß T


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Spline Interpolation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:47 Mi 16.06.2010
Autor: Temson

Vielen Dank!
Ich denke jetzt wird es um einiges klarer! Ich versuch es mal!

Grüße T

Bezug
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