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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Sa 02.02.2008 | | Autor: | ex.aveal |
Hallo.
Ich habe hier eine Aufgabe mit Lösung die sich mit der Ableitung der Sprungfunktion beschäftigt, allerdings schaffe ich es nicht, das Ergebnis richtig zu berechnen. Ich hoffe, Ihr könnt mir vielleicht helfen! :)
Die Aufgabe:
[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }t \le 0 \\ t, & \mbox{für }0 < t < 2 \\ -2. & \mbox{für } t \ge 2\end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie die verallgemeinerte Ableitung zu D f(t)
Die funktion lautet (nach meiner Ansicht):
f(t) = t * [mm] (\varepsilon(t) [/mm] - [mm] \varepsilon(t-2)) [/mm] - 2 * [mm] \varepsilon(t-2)
[/mm]
= t * [mm] \varepsilon(t) [/mm] - t * [mm] \varepsilon(t-2) [/mm] - 2 * [mm] \varepsilon(t-2)
[/mm]
f'(t) = (t * [mm] \delta(t) [/mm] + [mm] \varepsilon(t)) [/mm] - (t * [mm] \delta(t-2) [/mm] + [mm] \varepsilon(t-2)) [/mm] - 2 * [mm] \delta(t-2)
[/mm]
= t * [mm] \delta(t) [/mm] + [mm] \varepsilon(t) [/mm] - t * [mm] \delta(t-2) [/mm] - [mm] \varepsilon(t-2) [/mm] - 2 * [mm] \delta(t-2)
[/mm]
Die Lösung soll aber sein:
D f(t) = [mm] \varepsilon(t) [/mm] - [mm] \varepsilon(t-2) [/mm] - 4 * [mm] \delta(t-2)
[/mm]
Wäre schön, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo ex.aveal,
das mit dem Ableiten der Sprungfunktion ist immer so eine Sache, da man hierzu eigentlich mit Distributionen und nicht mit Funktionen rechnen muss.
Deine Musterlösung und Dein Ergebnis gehen aber doch ineinander über, wenn Du die Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses berücksichtigst. Dein erster Summand wird damit zu Null, dein zweiter zu -2 und damit kommst auch Du auf das Ergebnis der Musterlösung.
Viele Grüße,
Infinit
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