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| Aufgabe | | Sei [mm] \alpha: V\to [/mm] V linear und V,W Basen von V. Zeige, dass für die Matrixdarstellung von [mm] \alpha [/mm] gilt: [mm] spur(A_{V\to V})=spur(A_{W\to W}). [/mm] |
Hallo an alle Intressierten.
Davor habe ich gezeigt, dass span(AB)=span(BA).
Ich weiß, dass
[mm] A_{W\to W}=A_{W\to V}A_{V\to V}A_{V\to W} [/mm] mit [mm] A_{W\to V}A_{V\to W}=E_n [/mm] und dachte das reicht schon als Voraussetzug. Aber irgendwie komm ich nicht klar zum Ziel.
Ein kleiner Tipp zur Motivation, wär echt hilfreich.
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> Sei [mm]\alpha: V\to[/mm] V linear und V,W Basen von V. Zeige, dass
> für die Matrixdarstellung von [mm]\alpha[/mm] gilt: [mm]spur(A_{V\to V})=spur(A_{W\to W}).[/mm]
>
> Hallo an alle Intressierten.
> Davor habe ich gezeigt, dass span(AB)=span(BA).
Hallo,
wohl eher spur(AB)=spur(BA).
Wenn die Abbildung [mm] \alpha [/mm] in der Basis V die darstellende Matrix A hat und in der Basis W die darstellende Matrix B, dann gibt es eine Transformationsmatrix T mit [mm] A=T^{-1}BT.
[/mm]
(T ist die Basistransformation, welche die Basisvektoren von V in Koordinaten bzgl. W liefert.)
Es folgt [mm] spur(A)=spur(T^{-1}BT).
[/mm]
Nun verwende, was Du in der vorhergehenden Teilaufgabe gezeigt hast.
Gruß v. Angela
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Ok. Also dann so:
[mm]spur(A_V^V)=spur(T_{V\to W}B^W_WT_{W\to V})=spur(BT_{V\to W}T_{W\to V})=spur(BE_n)=spur(B)[/mm]
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> Ok. Also dann so:
> [mm]spur(A_V^V)=spur(T_{V\to W}B^W_WT_{W\to V})=spur(BT_{V\to W}T_{W\to V})=spur(BE_n)=spur(B)[/mm]
Im Prinzip ja.
Wenn ich Deine Notation allerdings richtig interpretiere, müßte es eher
[mm] A_V^V=T_{W\to V}B^W_WT_{V\to W} [/mm] heißen.
(Aber die Notationen unterscheiden sich so sehr. Jeder scheint was anderes zu meinen mit seinen Bezeichnungen. Wichtig ist, daß man selber allzeit weiß, was man meint. Nicht immer leicht...)
Meine Lesart: [mm] T_{V\to W} [/mm] transformiert Vektoren in Koordinaten bzgl. V in solche bzgl. W
Dann macht [mm] B^W_W [/mm] die Abbildung in Koordinaten bzgl. W
Anschließend transformiert [mm] T_{W\to V} [/mm] die Vektoren in Koordinaten bzgl W in solche bzgl. V.
Gruß v. Angela
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so meine ich das eigentlich auch.
sicherlich peinliche Frage: schaut man sich das den von hinten nach vorne an?
Dann wär ,ir alles klar.
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> so meine ich das eigentlich auch.
> sicherlich peinliche Frage: schaut man sich das den von
> hinten nach vorne an?
> Dann wär ,ir alles klar.
Och. so peinlich finde ich die Frage nicht...
Ja, in der Regel schon.
Nehmen wir die Verkettung zweier Funktionen f und g zu [mm] f\circ [/mm] g.
Was machen wir, wenn wir [mm] (f\circ [/mm] g)(x) berechen?
Wir rechnen zuerst g(x) und setzen das dann in f ein: f(g(x)).
Mit den Matrizen ist es genauso.
Wollen wir auf einen Vektor v die Matrix B anwenden, rechen wir Bv.
Soll nun auf das Ergebnis A angewendet werden, rechnen wir A(Bv)=ABv.
> schaut man sich das den von hinten nach vorne an?
Noch kurz aus dem Nähkästchen geplaudert: in meinem 1.mathematischen Frühling hatte ich einen LinGeo-Prof, der fand es auch überhaupt nicht gut, daß "man" von hinten nach vorne denken muß.
Er hat das umgemodelt. da würden die Matrizen anders multipliziert, SpaltexZeile, wenn ich mich recht entsinne, und die Abbildung, die man zuerst auf den Vektor losläßt, stand vorne. Als Spaltenvektor.
Es war entsetzlich!!!! Jeder Blick in ein anderes Buch hat Schwindel und Wirrnis verursacht...
Gruß v. Angela
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