Spur einer σ-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Mo 02.11.2009 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | Sei $S$ eine Menge, $E [mm] \subset [/mm] S$ und [mm] $\mathcal{E}\subset \mathcal{P}(S)$.
[/mm]
zu zeigen ist:
1.) [mm] $\text{Die Spur } \mathcal{A}\cap [/mm] E [mm] \text{ einer } \sigma\text{-Algebra } \mathcal{A} \text{ auf } [/mm] S [mm] \text{ ist eine } \sigma\text{-Algebra auf }E.$
[/mm]
2.) [mm] $\sigma(\mathcal{E} \cap [/mm] E)= [mm] \sigma(\mathcal{E}) \cap [/mm] E$ |
Hallo,
ich kann leider mit der Definition der Spur nichts anfangen und deshalb fällt mir diese Aufgabe schwer.
In der Vorlesung war ich nicht, als dieses Thema bearbeitet wurde. Auf wikipedia.de heisst es nur [mm] $\mathcal A|E:=\{ A \cap E \,|\, A \in \mathcal A \}$ [/mm] ist Spur von [mm] $\mathcal [/mm] {A}$ in $E$ (mit [mm] $E\subseteq \mathcal{P}(\Omega)$). [/mm] Das bedeutet wohl, dass ich die Spur von [mm] $\mathcal [/mm] {A}$ in $E$ erhalte, wenn ich alle Elemente von [mm] $\mathcal [/mm] {A}$ mit $E$ schneide. Aber wie soll ich das nur auf meine Aufgabe übertragen?
Es wäre lieb von euch, wenn ihr mir das mit der Spur erklären würdet.
Viele Grüße,
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]S[/mm] eine Menge, [mm]E \subset S[/mm] und [mm]\mathcal{E}\subset \mathcal{P}(S)[/mm].
>
> zu zeigen ist:
>
> 1.) [mm]\text{Die Spur } \mathcal{A}\cap E \text{ einer } \sigma\text{-Algebra } \mathcal{A} \text{ auf } S \text{ ist eine } \sigma\text{-Algebra auf }E.[/mm]
>
> 2.) [mm]\sigma(\mathcal{E} \cap E)= \sigma(\mathcal{E}) \cap E[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich kann leider mit der Definition der Spur nichts anfangen
> und deshalb fällt mir diese Aufgabe schwer.
> In der Vorlesung war ich nicht, als dieses Thema
> bearbeitet wurde. Auf wikipedia.de heisst es nur [mm]\mathcal A|E:=\{ A \cap E \,|\, A \in \mathcal A \}[/mm]
> ist Spur von [mm]\mathcal {A}[/mm] in [mm]E[/mm] (mit [mm]E\subseteq \mathcal{P}(\Omega)[/mm]).
> Das bedeutet wohl, dass ich die Spur von [mm]\mathcal {A}[/mm] in [mm]E[/mm]
> erhalte, wenn ich alle Elemente von [mm]\mathcal {A}[/mm] mit [mm]E[/mm]
> schneide.
Genau
> Aber wie soll ich das nur auf meine Aufgabe
> übertragen?
Zeige: [mm] \{ A \cap E \,|\, A \in \mathcal A \} [/mm] ist eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra (auf E)
FRED
> Es wäre lieb von euch, wenn ihr mir das mit der Spur
> erklären würdet.
>
> Viele Grüße,
> Kevin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Mo 02.11.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Wenn ich zeigen soll, dass
$ [mm] \mathcal A|E:=\{ A \cap E \,|\, A \in \mathcal A \} [/mm] $
eine σ-Algebra auf E ist, muss ich dann folgende drei Dinge überprüfen:
i) $E [mm] \in \mathcal [/mm] A$
ii) $F [mm] \in \mathcal [/mm] A [mm] \Rightarrow E\setminus [/mm] F [mm] \in\mathcal [/mm] A$
iii) [mm] $F_1, F_2,...,F_n \in \mathcal A\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}F_i \in \mathcal [/mm] A$
Dann wäre i) gar nicht mal so schwer nachzuprüfen : [mm] $E\subseteq \Omega \subseteq \mathcal [/mm] A [mm] \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] und [mm] $E\cap [/mm] E=E$, also liegt $E$ in [mm] $\mathcal [/mm] A$ drin.
Zu ii) und iii) fällt mir momentan nichts ein.
LGR, Kevin
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