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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:41 Sa 14.11.2015 | | Autor: | medphys |
| Aufgabe | a) Zyklische Invarianz: Seien A,B und C beliebige Operatoren. Beweisen Sie, z.B. in der Dirac Notation, dass Sp(AB)=Sp(BA) gilt. Leiten Sie damit folgende Relation ab
Sp(ABC)=Sp(BCA)=Sp(CAB).
b) Ableiten der Spur: Sei [mm] g(\lambda)=Sp(f(A)) [/mm] mit [mm] A(\lambda)=A_0+\lambda \delta [/mm] A und [mm] \lambda \in \IR [/mm] und einer analytischen Funktion f. Beachten Sie, dass damit f(A) als Taylorreihe [mm] f(A)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f_n A^n [/mm] geschrieben werden kann. Beweisen Sie, dass [mm] g'(\lambda)=Sp(f'(A)\delta [/mm] A) gilt.
c) Anwendung: Wir betrachten [mm] g(\lambda)=Sp(f(A(\lambda))). [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] f'(A_0)=0 [/mm] eine notwendige Bedingung ist, damit [mm] g(\lambda) [/mm] an der Stelle [mm] \lambda=0 [/mm] extremal ist |
Hallo zusammen,
ich denke, dass ich die a) schon gelöst habe und es wäre nett, wenn das einer bestätigen könnte.
Hier was ich habe:
[mm] Sp(AB)=\sum\limits_{j}=\sum\limits_{j} =\sum\limits_{i,j}==\sum\limits_{i}==Sp(BA)
[/mm]
Bei der Relation mit drei Operatoren bin ich analog vorgegangen.
Bei Teil b) komme ich leider nicht weiter.
Ich habe erstmal alles soweit eingesetzt und die Ableitung in die Spur und in die Summe reingezogen. Ich hoffe das mit [mm] g'(\lambda) [/mm] auch die Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] gemeint ist. Bei mir sieht das bis hier hin so aus:
[mm] g'(\lambda=)Sp\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{d}{d\lambda}\left(f_n(A_0+\lambda\delta A)\right)^n\right)
[/mm]
Wenn ich das jetzt ableite nach [mm] \lambda [/mm] bekomme ich als innere Ableitung ja [mm] \delta [/mm] A, aber das würde ja zu meinem f'(A) dazugehören. Also muss hier irgendwo ein Fehler sein, den ich leider nicht erkenne.
Bei Aufgabenteil d) denke ich, dass ich [mm] g'(\lambda)=0 [/mm] setzen muss und die Ableitung bei [mm] \lambda=0 [/mm] auswerten muss.
Hoffe mir kann jemand helfen.
Gruß
medphys
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 16.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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