Spurpunkt und Spurgerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr,
zu dem im Titel genannten Thema "Spurpunkt und Spurgerade" habe ich noch eine Frage. Der Spurpunkt ist doch der Punkt indem eine Gerade eine Koordinatenebene durchstößt, oder?
Also ist es doch so, dass nur eine Gerade einen Spurpunkt besitzen kann, und eine Ebene folglich eine Spurgerade.
Wenn das richtig sein sollte dann wäre das schon mal nicht schlecht.
Habe aber noch eine Frage  .
Könnte mal einer eine Aufgabe für Spurpunkt und Spurgerade durchrechnen, damit ich ungefähr sehe wie das geht?
Ich kann es zwar teilweise schon selbst, aber irgendwie liegt dieses Thema der Vektorrechnung nicht so ganz.
MfG DerMathematiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Sa 01.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker!
> zu dem im Titel genannten Thema "Spurpunkt und Spurgerade"
> habe ich noch eine Frage. Der Spurpunkt ist doch der Punkt
> indem eine Gerade eine Koordinatenebene durchstößt, oder?
>
> Also ist es doch so, dass nur eine Gerade einen Spurpunkt
> besitzen kann, und eine Ebene folglich eine Spurgerade.
Das ist absolut richtig:
Die Schnittpunkte einer Geraden mit den drei Koordinatenebenen heißen Spurpunkte oder Durchstoßpunkte.
Die Schnittgeraden einer Ebene mit den drei Koordinatenebenen heißen Spurgeraden.
Soweit ich mich aber erinnere, werden auch die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen Spurpunkte genannt, jedenfalls fände ich diese Bezeichnung auch sinnvoll.
> Wenn das richtig sein sollte dann wäre das schon mal nicht
> schlecht.
>
> Habe aber noch eine Frage .
>
> Könnte mal einer eine Aufgabe für Spurpunkt und Spurgerade
> durchrechnen, damit ich ungefähr sehe wie das geht?
Ich schlage das Umgekehrte vor: Du probierst, eine Aufgabe zu rechnen, und wir helfen dir dabei, falls du nicht weiter kommst.
> Ich kann es zwar teilweise schon selbst, aber irgendwie
> liegt dieses Thema der Vektorrechnung nicht so ganz.
Oft wird vergessen, dass die Koordinatenebenen und -achsen ebenfalls eine Parameterdarstellung haben; wahrscheinlich, weil die Parameterdarstellung so einfach ist? Jedenfalls wird mit der Darstellung der Koordinatenebenen/-achsen die Berechnung von Spuren zu einem ganz normalen Schnittproblem
Ebene - Gerade (Spurpunkte von Geraden)
Ebene - Gerade (Spurgeraden von Ebenen)*
Ebene - Gerade (Spurpunkte von Ebenen)
*eigentlich ist der Ansatz hier: Ebene-Ebene, es ist aber viel einfacher, die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen zu berechnen und daraus dann die Spurgeraden zu bilden.
Ich gebe diese Darstellung mal an, um zu zeigen, dass sie wirklich einfach ist
[mm] $g_{1}: \vec{x}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ ("$x_1$-Achse")
[/mm]
ein bisschen vereinfacht:
[mm] $g_{1}: \vec{x}=r*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
Alle Koordinatenachsen:
[mm] $g_{1}: \vec{x}=r*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ ("$x_1$-Achse")
[/mm]
[mm] $g_{2}: \vec{x}=r*\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ ("$x_2$-Achse")
[/mm]
[mm] $g_{3}: \vec{x}=r*\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ ("$x_3$-Achse")
[/mm]
Alle Koordinatenebenen:
[mm] $E_{12}: \vec{x}=r*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ ("$x_1x_2$-Ebene")
[/mm]
[mm] $E_{23}: \vec{x}=r*\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ ("$x_2x_3$-Ebene")
[/mm]
[mm] $E_{13}: \vec{x}=r*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ ("$x_1x_3$-Ebene")
[/mm]
(Als Stützvektor nehme ich natürlich den Koordinatenursprung, und als Richtungsvektoren die Einheitsvektoren)
In einer konktreten Rechnung führt der Schnittansatz mit der [mm] $x_1x_2$-Koordinatenebene [/mm] sofort auf diese Form:
[mm] $r*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\ldots$ [/mm] (Auf der rechten Seite steht die Geraden, deren Spurpunkte wir berechnen)
[mm] $\gdw$ $\begin{pmatrix}r\\s\\0\end{pmatrix}=\ldots$
[/mm]
Weswegen man häufig auch direkt diese Ansätze sieht, um Spurpunkte einer Geraden zu berechnen: [mm] $\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}=\ldots$
[/mm]
(Bei diesen direkten Ansätzen gehen aber leider die Hintergründe verloren, weswegen man das so macht.)
Übrigens sind diese Spuren, die ein Objekt (Ebene, Gerade) auf den Koordinatenebenen hinterläßt, nützlich zum Veranschaulichen, also zum Skizzieren von Ebenen und Geraden im Koordinatensystem. Das ist --denke ich mal-- der Hauptsinn von Spurberechnungen.
Also, versuchst du nun eine Aufgabe, und läßt sie von uns kontrollieren?
Bis gleich hoffentlich,
Marc
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Hallo Ihr,
ich habe zusätzlich noch eine Frage. Also ich bin gerade dabei Abi's durchzurechnen und bin auf ein Problem gestoßen.
Aufgabenstellung:
"Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen
e1: [mm]\vec x[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2\\ -6\\2 \end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\-1 \end{pmatrix}
[/mm]
(An DerMathematiker: Die Formel für "mü" ist [mm] \mu [/mm] --marc)
und
e2: 7x1 + x2 - x3 + 9 = 0
Welche besondere Lage hat die Schnittgerade im Koordinatensystem?
Also ich habe mal angefangen zu rechnen und zu grübeln.
Zuerst einmal habe ich den Normalenvektor der ersten Ebene berechnet, und der ist [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\2 \end{pmatrix} [/mm] .
Dann dachte ich mir, dass der Richtungsvektor der Schnittgerade das Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren, der beiden Ebene e1 und e2 ist.
Wenn das so richtig sein sollte dann habe ich dort [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} [/mm] heraus bekommen.
So nun folgt mein Problem. Der Richtungsvektor den habe ich jetzt berechnet und da ich auch die Lösungen zu diesen Abi's habe, habe ich dort einmal hereingesehen und herausgefunden, dass der stimmt. Nur, ich habe jetzt ein Problem mit dem Aufhängepunkt der Geraden.
Denn die Musterlösung wurde anderst berechnet, aber ich finde, wie ich schon zig mal gesagt habe, dass es in der Mathematik mehrere Lösungswege gibt und deshalb habe ich versucht meinen Weg beizubehalten und habe erst einmal definiert.
[mm]\vec a[/mm] = Aufpunkt
[mm]\vec a[/mm] [mm] \in [/mm] e1 und e2
Dann bin ich folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \begin{pmatrix} 7 \\ 1\\-1 \end{pmatrix} [/mm] x [mm] \begin{pmatrix} x1 \\ x2\\x3 \end{pmatrix} [/mm] + 9 = 0
und
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\2 \end{pmatrix} [/mm] x [mm] \begin{pmatrix} x1 \\ x2\\x3 \end{pmatrix} [/mm] - 18 = 0
Dann hatte ich zwei Gleichungssysteme
7x1 + x2 - x3 = - 9 und
x1 - 2x2 + 2 x3 = 18
So da bin ich nun angelangt und ich weiß ich mache es sehr umständlich, aber ich möchte gerne eine Lösung auf diesem Wege. Geht das überhaupt?
Also es sind 3 Variablen und 2 Gleichungen also geht das ja nicht so ganz, oder?
Schreibt mal zurück, was ihr davon haltet. Ich suche in der Zeit eine Spurgeraden und Spurpunkt-Aufgabe.
MfG DerMathematiker
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Hallo DerMathematiker,
> Hallo Ihr,
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> ich habe zusätzlich noch eine Frage. Also ich bin gerade
> dabei Abi's durchzurechnen und bin auf ein Problem
> gestoßen.
>
> Aufgabenstellung:
>
> "Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der beiden
> Ebenen
>
> e1: [mm]\vec x[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2\\ -6\\2 \end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\-1 \end{pmatrix}
[/mm]
>
> (An DerMathematiker: Die Formel für "mü" ist [mm] \mu [/mm]
> --marc)
>
> und
>
> e2: 7x1 + x2 - x3 + 9 = 0
>
> Welche besondere Lage hat die Schnittgerade im
> Koordinatensystem?
>
> Also ich habe mal angefangen zu rechnen und zu grübeln.
>
> Zuerst einmal habe ich den Normalenvektor der ersten Ebene
> berechnet, und der ist [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\2 \end{pmatrix} [/mm] .
> Dann dachte ich mir, dass der Richtungsvektor der
> Schnittgerade das Vektorprodukt der beiden
> Normalenvektoren, der beiden Ebene e1 und e2 ist.
>
gute Idee ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn das so richtig sein sollte dann habe ich dort
> [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} [/mm] heraus bekommen.
>
> So nun folgt mein Problem. Der Richtungsvektor den habe ich
> jetzt berechnet und da ich auch die Lösungen zu diesen
> Abi's habe, habe ich dort einmal hereingesehen und
> herausgefunden, dass der stimmt. Nur, ich habe jetzt ein
> Problem mit dem Aufhängepunkt der Geraden.
>
Du hast also herausgefunden, daß die Gerade in der 2-3-Ebene verläuft, stimmt's?
> Denn die Musterlösung wurde anderst berechnet, aber ich
> finde, wie ich schon zig mal gesagt habe, dass es in der
> Mathematik mehrere Lösungswege gibt und deshalb habe ich
> versucht meinen Weg beizubehalten und habe erst einmal
> definiert.
>
> [mm]\vec a[/mm] = Aufpunkt
>
> [mm]\vec a[/mm] [mm] \in [/mm] e1 und e2
_und_ er liegt in der 2-3-Ebene, d.h. die erste Komponente/Koordinate ist 0.
Hast du nun eine Idee zur Lösung?
>
> Dann bin ich folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ 1\\-1 \end{pmatrix} [/mm] x [mm] \begin{pmatrix} x1 \\ x2\\x3 \end{pmatrix} [/mm] + 9 = 0
>
> und
>
> [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\2 \end{pmatrix} [/mm] x [mm] \begin{pmatrix} x1 \\ x2\\x3 \end{pmatrix} [/mm] - 18 = 0
>
> Dann hatte ich zwei Gleichungssysteme
>
> 7x1 + x2 - x3 = - 9 und
> x1 - 2x2 + 2 x3 = 18
>
> So da bin ich nun angelangt und ich weiß ich mache es sehr
> umständlich, aber ich möchte gerne eine Lösung auf diesem
> Wege. Geht das überhaupt?
>
sicher
> Also es sind 3 Variablen und 2 Gleichungen also geht das ja
> nicht so ganz, oder?
>
Du hast halt eine weitere Gleichung übersehen, denke ich.
> Schreibt mal zurück, was ihr davon haltet. Ich suche in der
> Zeit eine Spurgeraden und Spurpunkt-Aufgabe.
>
> MfG DerMathematiker
>
nun bin ich gespannt auf deine Fortsetzung ...
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Hallo Informix,
ich weiß wie ich auf die Lösung komme. Einfach mit x1= 0 wegfallen lassen, nur, warum LIEGT diese Gerade in der x2-x3 Ebene? Also ich weiß, dass sie parallel dazu ist, weil die Koordinate x1 beim Richtungsvektor 0 ist. Aber der Aufpunkt muss ja nicht zwangsläufig in der x2-x3 Ebene liegen, oder???
Wenn doch, dann stell ich mir das Bildlich irgendwie falsch vor.
Also die Lösung weiß ich, ich weiß nur nicht, wie ich begründen soll, dass x1=0 ist!
Bin auf deine Erklärung gespannt.
MfG DerMathematiker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Sa 01.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> ich weiß wie ich auf die Lösung komme. Einfach mit x1= 0
> wegfallen lassen, nur, warum LIEGT diese Gerade in der
> x2-x3 Ebene? Also ich weiß, dass sie parallel dazu ist,
> weil die Koordinate x1 beim Richtungsvektor 0 ist. Aber der
> Aufpunkt muss ja nicht zwangsläufig in der x2-x3 Ebene
> liegen, oder???
Da hast du Recht, das sehe ich auch nicht so unmittelbar, aber informix hat trotzdem auch Recht, denn:
Wie man deinen zuletzt gefundenen Gleichungen sofort ansieht, gibt es eine Lösung, die in der yz-Ebene liegt, d.h. ein Punkt der Gerade liegt auf jeden Fall schon mal in der yz-Ebene.
Zusammen mit der Parallelität ergibt sich so, dass die Gerade ganz in der yz-Ebene liegt.
In den letzten beiden Gleichungen ging es dir ja nur darum, einen Stützvektor für deine Schnittgerade zu finden, und dazu kann jede Lösung herhalten.
> Wenn doch, dann stell ich mir das Bildlich irgendwie falsch
> vor.
>
> Also die Lösung weiß ich, ich weiß nur nicht, wie ich
> begründen soll, dass x1=0 ist!
Das kannst du selbst wählen, um eine Lösung zu bekommen.
> Bin auf deine Erklärung gespannt.
Und noch etwas: Es stimmt zwar, dass es fast immer mehrere Lösungswege gibt, aber hier, bei dieser Aufgabe, gibt es einen viel schnelleren, den du wenigstens mal erwägen solltest, denn die Zeit im Abi ist auch begrenzt
Statt kompliziert Normalenvektoren zu berechnen, und später doch praktisch einen Schnittansatz zu wählen, würde ich sofort die Ebene in Parameterdarstellung in die Koordinatengleichung der anderen Ebene einsetzen:
[mm] $E_1: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 2\\ -6\\2 \end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\-1 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $E_2: 7x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] + 9 = 0$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $x_1=2+2\lambda+2\mu$
[/mm]
[mm] $x_2=-6+4\lambda+0\mu$
[/mm]
[mm] $x_3=2+3\lambda-1\mu$
[/mm]
[mm] $7x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] + 9 = 0$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $x_1=2+2\lambda+2\mu$
[/mm]
[mm] $x_2=-6+4\lambda$
[/mm]
[mm] $x_3=2+3\lambda-1\mu$
[/mm]
[mm] $7(2+2\lambda+2\mu) [/mm] + [mm] (-6+4\lambda+0\mu) [/mm] - [mm] (2+3\lambda-1\mu) [/mm] + 9 = 0$
Die letzte Gleichung kann nun nach [mm] \lambda [/mm] oder [mm] \mu [/mm] aufgelöst werden, du erhäst etwas von der Form [mm] \lambda=\Box+\Box\mu
[/mm]
Wenn du dieses [mm] \lambda [/mm] dann in [mm] E_1 [/mm] einsetzt, steht bereits die Schnittgerade da!
Viele Grüße,
Marc
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Also deine 2. Möglichkeit ist die, die in meinem Lösungsbuch steht. Aber es geht halt darum, wenn ich das nicht sehen sollte, dass ich wenigstens somit auch auf eine richtige Lösung komme. Wenn ich das natürlich sehe, dann mach ich das auch so.
Aber ich habe immer noch nicht folgendes Verstanden:
Ich habe einen Richtungs- oder Stützvektor, der parallel zur x2-x3 Ebene ist, aber wie kann man begründen, dass jetzt diese Schnittgerade komplett in der x2-x3 Ebene liegt?
MfG DerMathematiker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Sa 01.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker!
> Also deine 2. Möglichkeit ist die, die in meinem
> Lösungsbuch steht. Aber es geht halt darum, wenn ich das
> nicht sehen sollte, dass ich wenigstens somit auch auf eine
> richtige Lösung komme. Wenn ich das natürlich sehe, dann
> mach ich das auch so.
Okay.
> Aber ich habe immer noch nicht folgendes Verstanden:
>
> Ich habe einen Richtungs- oder Stützvektor, der parallel
> zur x2-x3 Ebene ist, aber wie kann man begründen, dass
> jetzt diese Schnittgerade komplett in der x2-x3 Ebene
> liegt?
Nun, der Stützvektor liegt natürlich nicht parallel zur Ebene (oder vielleicht schon, aber das spielt keine Rolle).
Vielmehr liegt der Punkt, dessen Ortsvektor der Stützvektor ist in der yz-Ebene.
Jetzt stelle dir mal eine Ebene vor, und von einer Gerade weißt du:
1.) Sie ist parallel zur Ebene
2.) Ein Punkt der Gerade liegt auch in der Ebene
Die einzige Möglichkeit ist nun, dass die Gerade komplett in der Ebene liegt.
Durch den (zur Ebene) parallelen Richtungsvektor kann sich die Gerade ja so zu sagen nie aus der Ebene raus bewegen (von dem Schnittpunkt aus betrachtet).
Ein bisschen klarer geworden?
Viele Grüße,
Marc
P.S.: Eine Bitte: Wenn du eine Reaktion auf deine Artikel wünschst, dann schreibe bitte keine Mitteilungen, sondern schreibe Fragen.
Mitteilungen haben ja den Beisatz "Reaktion unnötig", während offene Fragen kaum übersehen werden können, da sie sofort ins Auge fallen.
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Hallo,
also es ist jetzt schon klarer geworden, wenn du mir jetzt nur noch sagen könntest woher ich weiß, dass der Aufpunkt auch in dieser Ebene liegt?
Oder kann ich dies einfach so behaupten.
Ansonsten ist es jetzt vollkommen klar.
Danke für deine Anstrengungen mit mir.
MfG DerMathematiker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 So 02.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker,
> also es ist jetzt schon klarer geworden, wenn du mir jetzt
> nur noch sagen könntest woher ich weiß, dass der Aufpunkt
> auch in dieser Ebene liegt?
> Oder kann ich dies einfach so behaupten.
Du weißt es so:
In diesem Beitrag hast du ja geschrieben:
[mm] $7x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = - 9$ und
[mm] $x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 18 $
Jetzt geht es nur darum, einen einzigen Punkt zu finden, der beiden Gleichungen genügt, den als Stützvektor/"Aufpunkt" kann ja jeder Punkt der Gerade herhalten.
Z.B. erfüllt der Punkt (0; 0; 9) beide Gleichungen, (aber auch (0; -9; 0) und unendlich viele weitere).
Also liegt die Gerade in der yz-Ebene (da ja (0; 0; 9) darin liegt).
Übrigens ist diese Feststellung aber zum Aufstellen der Geradengleichung völlig uninteressant, weswegen du dich jetzt nicht darauf versteifen solltest, das jetzt zu verstehen (diese Idee, dass die Gerade in der yz-Ebene liegt kam ja auch nicht von dir).
Dass die Gerade in der yz-Ebene liegt, ist dann die Antwort auf die Frage: "Welche besondere Lage hat die Schnittgerade im Koordinatensystem?".
Nun ein bisschen klarer?
Viele Grüße,
Marc
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Hi Ihr,
jo nun isses schon klarer. Ich bin im Moment einfach nur im Stress, weil ich halt am Dienstag Mathe 5 Stunden von 8-13 Uhr schreib und dann direkt am Mittwoch BWL, wobei es in BWL einiges an Theorie-Stoff gibt, den ich vor Mathe gezogen hab und somit in Mathe ein bissel zu kurz gekommen bin. Brauche in Mathe ne 09 und BWL ne 10. Ich hoffe ich werde beides schaffen. Drückt mir die Daumen nach dem Mittwoch bin ich mit meinem schriftlichen Abi-Teil fertig.
MfG euer Mathematiker, der irgendwie schiss vor Dienstag und Mittwoch hat. Aber natürlich auch noch nachem Abi euch allen erhalten bleibt. Denn manchmal auch wenn er etwas schwer von Begriff ist , kann er doch anderen helfen und das will er auch!
Bis dann! Euer treuer Mathematiker
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