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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Do 07.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
| Aufgabe | | In Welchen Punkten durchdringen die Kanten der Pyramide dem 2m hohen Wasserspiegel? A(2/2/0), B(10/6/0) c(2/12/0) S(6/6/8) |
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich diese Aufgabe zu lösen habe. Muss ich mit der Zwei Punkte Form die strecken AB BC und AC berechnen und dann ganz normal die Spurpunkte berechnen?
Vielen lieben Dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Do 07.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi Franziska!
wenn ich das richtig verstehe steht die pyramide auf dem grund (x-y-ebene) und der wasserspiegel ist die ebene z=2....
gesucht sind jetzt die schnittpunkte zwischen der ebene und den kanten AS, BS und CS.
ich rechne dir das mal für AS vor:
die gerade AS ist (zum beispiel)
AS: [mm]A+\lambda*(S-A)=\vektor{2\\2\\0}+\lambda*\vektor{4\\4\\8}=\vektor{2\\2\\0}+\lambda*\vektor{1\\1\\2}[/mm]
die ebene kann man schreiben als
E: [mm]\vektor{0\\0\\2}+\mu*\vektor{1\\0\\0}+\nu*\vektor{0\\1\\0}[/mm]
für den schnittpunkt muss man beides gleichsetzen:
AS=E: [mm]\vektor{2\\2\\0}+\lambda*\vektor{1\\1\\2}=\vektor{0\\0\\2}+\mu*\vektor{1\\0\\0}+\nu*\vektor{0\\1\\0}[/mm]
dieses gleichungssystem lösen:
[mm]2+\lambda=\mu[/mm]
[mm]2+\lambda=\nu[/mm]
[mm]2*\lambda=2[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=1 \quad \mu=3 \quad \nu=3
[/mm]
der schnittpunkt ist also: [mm] \vektor{3\\3\\2}
[/mm]
für die anderen punkte gehst du genauso vor...
lieben gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Do 07.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
Hallo,
erst einmal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Was ich nicht verstande habe,wie du auf die Gleichung der Ebene kommst. Muss ich dann AB, BC Und AC, wenn ich die Gleichung augestellt habe mit der gleichen Gleichung der Ebene gleichsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Do 07.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi nochmal!
es ist doch klar, dass die ebene parallel zur x-y-ebene ist, nur um 2 nach oben verschoben (also bei z=2)...
in der parameterform besteht eine ebene aus:
einem festen punkt und 2 richtungsvektoren.
ich habe als festen punkt [mm] \vektor{0\\0\\2} [/mm] genommen. (du könntest aber auch jeden anderen punkt mit [mm] \vektor{x\\y\\2} [/mm] nehmen, denn diese liegen alle in der ebene)
anstelle der richtungsvektoren die ich benutzt habe, kannst du auch irgendwelche anderen mit z=0 nehmen (sie müssen allerdings lin. unabhängig sein)
wenn du dir eine darstellung der ebene gebastelt hast, musst du sie gleichsetzen mit AS, BS und CS (nicht AB, BC und AC!)
versuch doch mal die pyramide in ein koordinatensystem zu zeichnen. du wirst feststellen, dass A, B und C in der x-y-ebene (d.h. "auf dem grund") liegen. die geraden AB, BC und AC liegen komplett "unter wasser" - es wäre also unsinnig sie mit der ebene zu schneiden, weil sie paralles zur wasseroberfläche sind...
gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Do 07.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
Hallo Fulla,
das mit dem Punkt (0/0/2) habe ich verstanden. Aber ich habe nicht herausgefunden warum die anderen Vektoren addiert werden müssen und wie man darauf kommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Do 07.09.2006 | | Autor: | riwe |
fulla hat dir das ja super erklärt,
aber vielleicht wäre es hier einfacher, die wasseroberfläche nicht in parameterform hinzumalen, sonder in koordinatenforn, also ganz einfach:
z = 2
und damit hast du sofort mit dem gleichsetzen der z-komponente deiner geraden g(AS): 2 = z = 0 + [mm] 2\lambda \rightarrow \lambda [/mm] = 1 und P(3/3/2) wie gehabt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Do 07.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
Hallo,
es ist sehr lieb von dir, dass du mir einen weiteren Tipp gibst, damit ich das besser verstehe. Denn an der räumlichen Vorstellung fehlt es mir. leider konnte ich das was du geschrieben hast nicht nachvollziehen. Ich verstehe nämlich nicht, wie man auf die Gleichung der Ebene kommt. Den 1. Punkt mit (0/0/2) habe ich verstanden. aber die addition der anderen punkte verstehe ich nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:57 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Fulla |
liegt es daran, dass du IN DIESEM fall nicht verstehst, wie man auf die ebene kommt, oder eher allgemein?
ich versuchs mal ganz allgemein...
in der parameterform braucht man erstmal einen punkt, der in der ebene liegt.
außerdem braucht man noch zwei richtungsvektoren.
allgemein sieht das dann so aus:
[mm]E:\quad \overrightarrow{A}+\lambda*\overrightarrow{B}+\mu*\overrightarrow{C}[/mm]
oder
[mm]E:\quad \vektor{a_1\\a_2\\a_3}+\lambda*\vektor{b_1\\b_2\\b_3}+\mu*\vektor{c_1\\c_2\\c_3}[/mm]
der punkt [mm] \overrightarrow{A}=\vektor{a_1\\a_2\\a_3} [/mm] liegt wirklich in der ebene. die anderen beiden vektoren sind parallel zur ebene, darum heißen sie auch richtungsvektoren. die variablen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] braucht man, um auch alle punkte in der ebene erreichen zu können, denn je nach dem, was du dafür einsetzt, bekommst du einen anderen punkt raus.
zeichne doch mal ein großes "V"auf ein blatt papier... die spitze ist dann der feste punkt (A), die beiden schenkel sind die richtungsvektoren.
wenn du das blatt auf den tisch legst und dir vorstellst, dass die spitze der ursprung ist, hast du nur [mm]E:\quad \lambda*\vektor{b_1\\b_2\\b_3}+\mu*\vektor{c_1\\c_2\\c_3}[/mm], das heißt, du hast eine ebene "gebastelt", die durch den ursprung geht (wenn du die richtungsvektoren geschickt wählst, ist es die x-y-ebene  )
je nach dem, was du für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] einsetzt, kannst du jeden beliebigen pukt auf dem tisch (= x-y-ebene) erreichen...
jetzt stell dir vor, das blatt papier schwebt 2cm über dem tisch... dann ist A nicht mehr der ursprung, sondern der punkt [mm] \vektor{0\\0\\2}, [/mm] der rest bleibt gleich. du kannst nun jeden punkt, der 2cm über dem tisch liegt erreichen (das ist jetzt der wasserspiegel aus der aufgabe).
normalerweise nimmt man möglichst einfache richtungsvektoren (also z.b. mit möglichst vielen nullen und sonst einsern)... in der aufgabe ist für die richtungsvektoren nur wichtig, dass die z-komponente gleich null ist (die ebene soll ja parallel zur x-y-ebene sein, also müssen die richtungsvektoren auch parallel zur x-y-ebene sein).
du könntest jetzt auch [mm] \vektor{17,2\\1002\\0} [/mm] und [mm] \vektor{-13\\66\\0} [/mm] nehmen, aber der einfachheit halber habe ich mich für [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] entschieden - so ist auf jeden fall sichergestellt, dass sie linear unabhängig sind.
und schon ist die ebene fertig!
du hast noch gesagt, dass du die addition nicht verstehst...
ist dir das jetzt klar?
du hast einen punkt (der ganz sicher in der ebene liegt) und zwei richtungen, in die du beliebig weit gehst. eine ebene ist ja 2-dimensional, also brauchst du 2 richtungen...
so, sorry, wenn ich ein wenig "gelabert" hab, aber ich habe versucht, es möglichst einfach und anschaulich zu erklären...
schöne grüße,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Fr 08.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
Hallo Fulla,
vielen vielen Dank, für die Mühe, die du dir gemacht hast. Das mit der Formel habe ich jetzt verstanden. Das heißt ich könnte jetzt auch(1/1/0) und (1/1/0) nehmen. Nur es ist wichtig, dass z=0 ist?
ich hoffe das ich es jetzt rechnen kann! Ich werde dir bescheid geben wie es bei mir ausgegangen ist.!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Fulla |
diese vektoren sind aber nicht linear unabhängig!
aber du könntest [mm] \vektor{-1\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] nehmen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:03 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Fulla |
jetz hab ich doch glatt die zeit überschritten und die frage wurde nicht als beantwortet markiert....
so, jetzt aber
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Fr 08.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
Hey Fulla,
gibt es denn noch ne andere Möglichkeit darauf zu kommen, denn die Punkt- Richtungs- Form mit der du Rechnest kommt erst ein paar seiten weiter im Buch. Dann kann das ja nicht sein, dass schon nen Aufgabe damit gestellt wird oder?
Liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi suppe!
du kannst es auch so machen, wie riwe es formuliert hat...
am beispiel von AS sähe das so aus:
AS: [mm]\vektor{2\\2\\0}+\lambda*\vektor{1\\1\\2}=[/mm]
jetzt guckst du, für welchen wert [mm] \lambda [/mm] der z-wert=2 wird.... hier wäre das [mm] \lambda=1
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Sa 09.09.2006 | | Autor: | suppe124 |
Ein dickes fettes Danke an dich Fulla! Ich habe jetzt sogar beide Wege verstanden!! Vielen Dank für deine Geduld!
jezt werde ich mich an die anderen Punkte setzen!
Dir noch ein schönes Wochenende!!!
Liebe grüße
Suppe
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