Stabilisator in einer Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Di 11.11.2008 | | Autor: | Peter17 |
| Aufgabe | G ist eine Untergruppe der [mm] S_{m} [/mm] aller Bijektionen einer Menge M auf sich. Für jedes p [mm] \in [/mm] M heißt G(p) := [mm] \{\alpha \in G | \alpha(p) = p\} [/mm] der Stabilisator von p in G.
(I) Zeigen Sie, dass G(p) Unterpruppe von G ist.
(II) Beweisen Sie, dass falls es zu den Elementen p, q [mm] \in [/mm] G ein [mm] \beta \in [/mm] G gibt mit [mm] \beta(p) [/mm] = q, so gilt G(q) = [mm] \beta \circ [/mm] G(p) [mm] \circ \beta^{-1} [/mm]
(III) Bestimmen Sie in der Gruppe [mm] S_{3}(1) [/mm] und mit Hilfe von (II) auch [mm] S_{3}(2) [/mm] |
Hallo. An diesem Beispiel sitze ich schon länger. Die erste Teilaufgabe habe ich zwar geschafft, aber jeweils bei (II) und (III) habe ich das Gefühl, die Angabe nicht zu verstehen. Kann da vl jemanden weiterhelfen?
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Di 11.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> G ist eine Untergruppe der [mm]S_{m}[/mm] aller Bijektionen einer
> Menge M auf sich. Für jedes p [mm]\in[/mm] M heißt G(p) := [mm]\{\alpha \in G | \alpha(p) = p\}[/mm]
> der Stabilisator von p in G.
>
> (I) Zeigen Sie, dass G(p) Unterpruppe von G ist.
> (II) Beweisen Sie, dass falls es zu den Elementen p, q [mm]\in[/mm]
> G ein [mm]\beta \in[/mm] G gibt mit [mm]\beta(p)[/mm] = q, so gilt G(q) =
> [mm]\beta \circ[/mm] G(p) [mm]\circ \beta^{-1}[/mm]
> (III) Bestimmen Sie in der Gruppe [mm]S_{3}(1)[/mm] und mit Hilfe
> von (II) auch [mm]S_{3}(2)[/mm]
> Hallo. An diesem Beispiel sitze ich schon länger. Die
> erste Teilaufgabe habe ich zwar geschafft, aber jeweils bei
> (II) und (III) habe ich das Gefühl, die Angabe nicht zu
> verstehen. Kann da vl jemanden weiterhelfen?
Gut dass du (I) schon hast.
Fuer (II) betrachtest du die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : G(p) [mm] \to [/mm] G$, [mm] $\alpha \mapsto \beta\ [/mm] alpha [mm] \beta^{-1}$. [/mm] Zeige, dass sie wohldefiniert ist, ein Homomorphismus ist, injektiv ist, dass ihr Bild in $G(q)$ liegt.
Schliesslich musst du noch zeigen, dass ihr Bild gleich $G(q)$ ist. Dafuer kannst du dich mit einem Trick behelfen: betrachte die Abbildung [mm] $\psi [/mm] : G(q) [mm] \to [/mm] G$, [mm] $\alpha \mapsto \beta^{-1} \alpha \beta$; [/mm] diese Abbildung ist ebenfalls wohldefiniert, ein Homomorphismus, injektiv, und ihr Bild liegt in $G(p)$ (folgt wegen Symmetrie aus dem obigen). Weiterhin gilt [mm] $\varphi \circ \psi [/mm] = [mm] id_{G(q)}$ [/mm] und [mm] $\psi \circ \varphi [/mm] = [mm] id_{G(p)}$.
[/mm]
Daraus folgt dann, dass das Bild von [mm] $\varphi$ [/mm] gleich $G(q)$ ist (und dass das Bild von [mm] $\psi$ [/mm] gleich $G(p)$ ist).
Zu (iii): Also [mm] $S_3(1)$ [/mm] bestimmen solltest du selber. Schreib alle Elemente von [mm] $S_3$ [/mm] auf, und guck welche davon $1$ festhalten.
Dann sollst du (II) benutzen: du suchst also ein [mm] $\beta \in S_3$ [/mm] mit [mm] $\beta(1) [/mm] = 2$. Wenn du das hast, rechne [mm] $\beta^{-1} S_3(1) \beta$ [/mm] aus.
LG Felix
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