Stabilität Beweis < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Do 07.05.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Satz:
Sei [mm] A(t)=A \in \IR^{n \times n}[/mm]. Dann gelten
1. [mm] y_{\*}=0[/mm] ist genau dann stabil für [mm]y'(t)=A(t)y(t)[/mm], wenn gilt
a) [mm]Re(\lambda_{j}) \le 0 [/mm] für alle Eigenwerte [mm]\lambda_{j}[/mm] von [mm] A [/mm],
b) im Fall [mm] Re(\lambda_{j})=0 [/mm] ist [mm] \lambda_{j} [/mm] halbeinfach
2. [mm] y_{\*}=0[/mm] ist genau dann asymptotisch stabil für [mm]y'(t)=A(t)y(t)[/mm], wenn [mm] Re(\lambda_{j})<0 [/mm] für alle Eigenwerte von [mm] A [/mm] gilt. |
Ich möchte den o.g. Satz gerne beweisen. Meine Idee ist jetzt folgendes:
Die Matrix [mm] A [/mm] kann ich ja auch durch die verallgemeinerten Eigenvektoren (Matrix [mm] V [/mm]) und einer Jordanmatrix angeben.
Also [mm] A=V J V^{-1}[/mm]
Wenn jetzt [mm] A [/mm] diagonalisierbar ist, ist [mm] J [/mm] eine Diagonalmatrix, in der die Eigenwerte enthalten sind.
Also [mm] A=V D V^{-1}[/mm].
Somit ist das Fundamentalsystem gegeben durch
[mm] Y(t)=V \pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}} V^{-1}[/mm]
Jetzt muss ich den Grenzwert von [mm] |Y(t)| [/mm] bestimmen.
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty} |Y(t)|=\limes_{t\rightarrow\infty} |Y(t)| = \limes_{t\rightarrow\infty} |V| |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| |V^{-1}| [/mm]
Da [mm] |V| [/mm] und [mm] |V^{-1}| [/mm] nicht von [mm] t [/mm] abhängen, muss ich [mm] |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| [/mm] betrachten.
Ist das bis hierhin richtig?
Dann habe ich noch ein paar Aussagen, die ich nicht ganz verstehe:
1) falls [mm] \exists i: Re(\lambda_{i})>0 [/mm] explodiert [mm] |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| [/mm]
2) falls [mm] \forall i: Re(\lambda_{i}) \le 0 [/mm] bleibt [mm] |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| [/mm] beschränkt
3) falls [mm] \forall i: Re(\lambda_{i}) < 0 [/mm] strebt [mm] |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| [/mm] gegen [mm] 0 [/mm]
Kann mir vllt das jemand kurz erklären?
Was ist wenn A nicht diagonalisierbar ist?
Vielen Dank
riju
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Satz:
> Sei [mm]A(t)=A \in \IR^{n \times n}[/mm].
Verstehe ich Dich richtig, dass A eine konstante Matrix ist ?
> Dann gelten
> 1. [mm]y_{\*}=0[/mm] ist genau dann stabil für [mm]y'(t)=A(t)y(t)[/mm],
> wenn gilt
> a) [mm]Re(\lambda_{j}) \le 0[/mm] für alle Eigenwerte [mm]\lambda_{j}[/mm]
> von [mm]A [/mm],
> b) im Fall [mm]Re(\lambda_{j})=0[/mm] ist [mm]\lambda_{j}[/mm]
> halbeinfach
> 2. [mm]y_{\*}=0[/mm] ist genau dann asymptotisch stabil für
> [mm]y'(t)=A(t)y(t)[/mm], wenn [mm]Re(\lambda_{j})<0[/mm] für alle Eigenwerte
> von [mm]A[/mm] gilt.
> Ich möchte den o.g. Satz gerne beweisen. Meine Idee ist
> jetzt folgendes:
>
> Die Matrix [mm]A[/mm] kann ich ja auch durch die verallgemeinerten
> Eigenvektoren (Matrix [mm]V [/mm]) und einer Jordanmatrix angeben.
> Also [mm]A=V J V^{-1}[/mm]
>
> Wenn jetzt [mm]A[/mm] diagonalisierbar ist, ist [mm]J[/mm] eine
> Diagonalmatrix, in der die Eigenwerte enthalten sind.
> Also [mm]A=V D V^{-1}[/mm].
> Somit ist das Fundamentalsystem gegeben
> durch
> [mm]Y(t)=V \pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}} V^{-1}[/mm]
>
> Jetzt muss ich den Grenzwert von [mm]|Y(t)|[/mm] bestimmen.
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} |Y(t)|=\limes_{t\rightarrow\infty} |Y(t)| = \limes_{t\rightarrow\infty} |V| |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| |V^{-1}|[/mm]
>
> Da [mm]|V|[/mm] und [mm]|V^{-1}|[/mm] nicht von [mm]t[/mm] abhängen, muss ich [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> betrachten.
>
> Ist das bis hierhin richtig?
Ja
>
> Dann habe ich noch ein paar Aussagen, die ich nicht ganz
> verstehe:
> 1) falls [mm]\exists i: Re(\lambda_{i})>0[/mm] explodiert [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
>
> 2) falls [mm]\forall i: Re(\lambda_{i}) \le 0[/mm] bleibt [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> beschränkt
>
> 3) falls [mm]\forall i: Re(\lambda_{i}) < 0[/mm] strebt [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> gegen [mm]0[/mm]
>
> Kann mir vllt das jemand kurz erklären?
Zunächstmal: mit den Betragsstrichen um eine Matrix ist eine Norm auf [mm] \IC^{n \times n} [/mm] gemeint. Welche, ist völlig egal, da alle Normen auf [mm] \IC^{n \times n} [/mm] äquivalent sind.
Für ein [mm] \lambda_j [/mm] gilt (dabei ist t [mm] \in \IR):
[/mm]
(*) [mm] $|e^{\lambda_j t}|=e^{Re(\lambda_j)t}.$
[/mm]
Zu 1): für ein j gelte [mm] Re(\lambda_j)>0. [/mm] Dann haben wir nach (*)
$ [mm] |e^{\lambda_j t}| \to \infty$ [/mm] für $ t [mm] \to \infty$
[/mm]
und damit auch
$$ [mm] |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| [/mm] $ [mm] \to \infty$ [/mm] für $ t [mm] \to \infty$.
[/mm]
Zu 2): gilt [mm] Re(\lambda_j) \le [/mm] 0 für alle j, so folgt aus (*)
[mm] |e^{\lambda_j t}| \le [/mm] 1 für alle j
und damit ist $ [mm] |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| [/mm] $ beschränkt.
Zu 3) gilt [mm] Re(\lambda_j) [/mm] < 0 für alle j, so folgt aus (*)
$ [mm] |e^{\lambda_j t}| \to [/mm] 0$ für $ t [mm] \to \infty$,
[/mm]
also auch
$ [mm] |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| \to [/mm] 0 $ für $ t [mm] \to \infty$.
[/mm]
>
> Was ist wenn A nicht diagonalisierbar ist?
Oha ! Dann wird der Beweis haarig und als Übungsaufgabe nicht geeignet.
FRED
>
> Vielen Dank
>
> riju
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Do 07.05.2015 | | Autor: | riju |
> > Satz:
> > Sei [mm]A(t)=A \in \IR^{n \times n}[/mm].
>
> Verstehe ich Dich richtig, dass A eine konstante Matrix ist
> ?
>
richtig.
>
>
> > Dann gelten
> > 1. [mm]y_{\*}=0[/mm] ist genau dann stabil für [mm]y'(t)=A(t)y(t)[/mm],
> > wenn gilt
> > a) [mm]Re(\lambda_{j}) \le 0[/mm] für alle Eigenwerte [mm]\lambda_{j}[/mm]
> > von [mm]A [/mm],
> > b) im Fall [mm]Re(\lambda_{j})=0[/mm] ist [mm]\lambda_{j}[/mm]
> > halbeinfach
> > 2. [mm]y_{\*}=0[/mm] ist genau dann asymptotisch stabil für
> > [mm]y'(t)=A(t)y(t)[/mm], wenn [mm]Re(\lambda_{j})<0[/mm] für alle Eigenwerte
> > von [mm]A[/mm] gilt.
> > Ich möchte den o.g. Satz gerne beweisen. Meine Idee
> ist
> > jetzt folgendes:
> >
> > Die Matrix [mm]A[/mm] kann ich ja auch durch die verallgemeinerten
> > Eigenvektoren (Matrix [mm]V [/mm]) und einer Jordanmatrix angeben.
> > Also [mm]A=V J V^{-1}[/mm]
> >
> > Wenn jetzt [mm]A[/mm] diagonalisierbar ist, ist [mm]J[/mm] eine
> > Diagonalmatrix, in der die Eigenwerte enthalten sind.
> > Also [mm]A=V D V^{-1}[/mm].
> > Somit ist das Fundamentalsystem
> gegeben
> > durch
> > [mm]Y(t)=V \pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}} V^{-1}[/mm]
>
> >
> > Jetzt muss ich den Grenzwert von [mm]|Y(t)|[/mm] bestimmen.
> > [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} |Y(t)|=\limes_{t\rightarrow\infty} |Y(t)| = \limes_{t\rightarrow\infty} |V| |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| |V^{-1}|[/mm]
>
> >
> > Da [mm]|V|[/mm] und [mm]|V^{-1}|[/mm] nicht von [mm]t[/mm] abhängen, muss ich [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> > betrachten.
> >
> > Ist das bis hierhin richtig?
>
>
> Ja
>
>
> >
> > Dann habe ich noch ein paar Aussagen, die ich nicht ganz
> > verstehe:
> > 1) falls [mm]\exists i: Re(\lambda_{i})>0[/mm] explodiert
> [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
>
> >
> > 2) falls [mm]\forall i: Re(\lambda_{i}) \le 0[/mm] bleibt [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> > beschränkt
> >
> > 3) falls [mm]\forall i: Re(\lambda_{i}) < 0[/mm] strebt [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> > gegen [mm]0[/mm]
> >
> > Kann mir vllt das jemand kurz erklären?
>
> Zunächstmal: mit den Betragsstrichen um eine Matrix ist
> eine Norm auf [mm]\IC^{n \times n}[/mm] gemeint. Welche, ist völlig
> egal, da alle Normen auf [mm]\IC^{n \times n}[/mm] äquivalent
> sind.
>
> Für ein [mm]\lambda_j[/mm] gilt (dabei ist t [mm]\in \IR):[/mm]
>
> (*) [mm]|e^{\lambda_j t}|=e^{Re(\lambda_j)t}.[/mm]
>
> Zu 1): für ein j gelte [mm]Re(\lambda_j)>0.[/mm] Dann haben wir
> nach (*)
>
> [mm]|e^{\lambda_j t}| \to \infty[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm]
>
> und damit auch
>
> [mm][/mm] [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> [mm]\to \infty[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm].
>
> Zu 2): gilt [mm]Re(\lambda_j) \le[/mm] 0 für alle j, so folgt aus
> (*)
>
>
> [mm]|e^{\lambda_j t}| \le[/mm] 1 für alle j
>
> und damit ist [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> beschränkt.
>
> Zu 3) gilt [mm]Re(\lambda_j)[/mm] < 0 für alle j, so folgt aus (*)
>
> [mm]|e^{\lambda_j t}| \to 0[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm],
>
> also auch
>
>
> [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| \to 0[/mm]
> für [mm]t \to \infty[/mm].
>
Danke.
Eine kleine Frage habe ich noch.
Bei 3.) habe ich jetzt aber nur gezeigt, dass die Nulllösung attraktiv ist, da es gegen 0 geht.
Aber da [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm] immer noch beschränkt ist (wegen [mm]|e^{\lambda_j t}| < [/mm] 1 für alle j), ist die Nulllösung sogar asymptotisch stabil.
Richtig?
>
>
> >
> > Was ist wenn A nicht diagonalisierbar ist?
>
> Oha ! Dann wird der Beweis haarig und als Übungsaufgabe
> nicht geeignet.
>
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank
> >
> > riju
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Satz:
> > > Sei [mm]A(t)=A \in \IR^{n \times n}[/mm].
> >
> > Verstehe ich Dich richtig, dass A eine konstante Matrix ist
> > ?
> >
> richtig.
> >
> >
> > > Dann gelten
> > > 1. [mm]y_{\*}=0[/mm] ist genau dann stabil für
> [mm]y'(t)=A(t)y(t)[/mm],
> > > wenn gilt
> > > a) [mm]Re(\lambda_{j}) \le 0[/mm] für alle Eigenwerte [mm]\lambda_{j}[/mm]
> > > von [mm]A [/mm],
> > > b) im Fall [mm]Re(\lambda_{j})=0[/mm] ist
> [mm]\lambda_{j}[/mm]
> > > halbeinfach
> > > 2. [mm]y_{\*}=0[/mm] ist genau dann asymptotisch stabil für
> > > [mm]y'(t)=A(t)y(t)[/mm], wenn [mm]Re(\lambda_{j})<0[/mm] für alle Eigenwerte
> > > von [mm]A[/mm] gilt.
> > > Ich möchte den o.g. Satz gerne beweisen. Meine Idee
> > ist
> > > jetzt folgendes:
> > >
> > > Die Matrix [mm]A[/mm] kann ich ja auch durch die verallgemeinerten
> > > Eigenvektoren (Matrix [mm]V [/mm]) und einer Jordanmatrix angeben.
> > > Also [mm]A=V J V^{-1}[/mm]
> > >
> > > Wenn jetzt [mm]A[/mm] diagonalisierbar ist, ist [mm]J[/mm] eine
> > > Diagonalmatrix, in der die Eigenwerte enthalten sind.
> > > Also [mm]A=V D V^{-1}[/mm].
> > > Somit ist das
> Fundamentalsystem
> > gegeben
> > > durch
> > > [mm]Y(t)=V \pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}} V^{-1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Jetzt muss ich den Grenzwert von [mm]|Y(t)|[/mm] bestimmen.
> > > [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} |Y(t)|=\limes_{t\rightarrow\infty} |Y(t)| = \limes_{t\rightarrow\infty} |V| |\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| |V^{-1}|[/mm]
>
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> > >
> > > Da [mm]|V|[/mm] und [mm]|V^{-1}|[/mm] nicht von [mm]t[/mm] abhängen, muss ich [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> > > betrachten.
> > >
> > > Ist das bis hierhin richtig?
> >
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> > Ja
> >
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> > >
> > > Dann habe ich noch ein paar Aussagen, die ich nicht ganz
> > > verstehe:
> > > 1) falls [mm]\exists i: Re(\lambda_{i})>0[/mm] explodiert
> > [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
>
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> > >
> > > 2) falls [mm]\forall i: Re(\lambda_{i}) \le 0[/mm] bleibt [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> > > beschränkt
> > >
> > > 3) falls [mm]\forall i: Re(\lambda_{i}) < 0[/mm] strebt [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> > > gegen [mm]0[/mm]
> > >
> > > Kann mir vllt das jemand kurz erklären?
> >
> > Zunächstmal: mit den Betragsstrichen um eine Matrix ist
> > eine Norm auf [mm]\IC^{n \times n}[/mm] gemeint. Welche, ist völlig
> > egal, da alle Normen auf [mm]\IC^{n \times n}[/mm] äquivalent
> > sind.
> >
> > Für ein [mm]\lambda_j[/mm] gilt (dabei ist t [mm]\in \IR):[/mm]
> >
> > (*) [mm]|e^{\lambda_j t}|=e^{Re(\lambda_j)t}.[/mm]
> >
> > Zu 1): für ein j gelte [mm]Re(\lambda_j)>0.[/mm] Dann haben wir
> > nach (*)
> >
> > [mm]|e^{\lambda_j t}| \to \infty[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm]
> >
> > und damit auch
> >
> >[mm][/mm] [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> > [mm]\to \infty[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm].
> >
> > Zu 2): gilt [mm]Re(\lambda_j) \le[/mm] 0 für alle j, so folgt aus
> > (*)
> >
> >
> > [mm]|e^{\lambda_j t}| \le[/mm] 1 für alle j
> >
> > und damit ist [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> > beschränkt.
> >
> > Zu 3) gilt [mm]Re(\lambda_j)[/mm] < 0 für alle j, so folgt aus (*)
> >
> > [mm]|e^{\lambda_j t}| \to 0[/mm] für [mm]t \to \infty[/mm],
> >
> > also auch
> >
> >
> > [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}| \to 0[/mm]
> > für [mm]t \to \infty[/mm].
> >
>
> Danke.
> Eine kleine Frage habe ich noch.
> Bei 3.) habe ich jetzt aber nur gezeigt, dass die
> Nulllösung attraktiv ist, da es gegen 0 geht.
> Aber da [mm]|\pmat{ e^{\lambda_{1} t} & 0 & \\ \\ \\ & 0 & e^{\lambda_{n} t}}|[/mm]
> immer noch beschränkt ist (wegen [mm]|e^{\lambda_j t}| <[/mm] 1
> für alle j), ist die Nulllösung sogar asymptotisch
> stabil.
>
> Richtig?
Ja
FRED
> >
> >
> > >
> > > Was ist wenn A nicht diagonalisierbar ist?
> >
> > Oha ! Dann wird der Beweis haarig und als Übungsaufgabe
> > nicht geeignet.
> >
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> > FRED
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > riju
> > >
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