Stabilität DGL Polarkoordinatn < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:58 Di 27.03.2012 | | Autor: | Harris |
Hallo!
Ich habe eine autonome DGL, welche nach Transformation in Polarkoordinaten [mm] $x(t)=r(t)\cos(\phi(t)), y(t)=r(t)\sin(\phi(t))$ [/mm] wie folgt aussieht:
[mm] r'(t)=pr(t)\cos(\phi(t))-r(t)^3
[/mm]
[mm] \phi'(t)=1-p\sin(\phi(t))
[/mm]
Nun stellt man mir die Frage, für welche [mm] $p\in\IR$ [/mm] der Gleichgewichtspunkt $0$ asyptotisch stabil ist.
Für $p=0$ und $|p|>1$ ist die Frage einfach, für $p=1$ habe ich einen Ansatz aber für [mm] $|p|\in(0,1)$ [/mm] fehlt mir jedoch jegliche Idee, obwohl ein Mathematica-Plot asymptotische Stabilität verspricht. Der Ansatz über die Linearisierung klappt im übrigen leider nur im Falle $|p|>1$.
Mein Problem ist: Für [mm] $|p|\in(0,1)$ [/mm] ist [mm] $\phi'(t)>0$, [/mm] der Winkel der Lösungen wächst somit streng monoton also kreist jede Lösung für immer um den Ursprung.
Da es Werte für [mm] $\phi(t)$ [/mm] gibt, so dass die Veränderung des Abstandes $r'(t)$ mal positiv und mal negativ ist, ist ein streng monotones Abfallen des Abstandes leider ausgeschlossen.
Hat hier irgendjemand eine Idee oder einen Link, der mich irgendwie weiterbringt?
Wäre so super, nage schon sehr sehr lange immer mal wieder auf dieser Aufgabe rum...
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Do 29.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
