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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Stabilität linearer Systeme
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Stabilität linearer Systeme: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Di 28.04.2015
Autor: riju

Aufgabe
Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem
[mm] (L) x'(t)=A(t)x+b(t) [/mm]
wobei [mm] A \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n \times n}), b \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n}) [/mm] und es seien [mm] x_{\*}(t)[/mm] und [mm] x(t) [/mm] Lösungen von (L). Dann ist [mm] y(t) := x(t) - x_{\*}(t) [/mm] eine Lösung von
[mm] (H) y'(t)=A(t)y [/mm].

Die "Aufgabenstellung" ist ein Text aus einem Buch. Ich weiß jetzt nicht, warum [mm] y(t) [/mm] eine Lösung von (H) ist.
Kann mir da vllt jemand helfen?

Vielen Dank
riju

        
Bezug
Stabilität linearer Systeme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Di 28.04.2015
Autor: fred97


> Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem
> [mm](L) x'(t)=A(t)x+b(t)[/mm]
>  wobei [mm]A \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n \times n}), b \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n})[/mm]
> und es seien [mm]x_{\*}(t)[/mm] und [mm]x(t)[/mm] Lösungen von (L). Dann ist
> [mm]y(t) := x(t) - x_{\*}(t)[/mm] eine Lösung von
> [mm](H) y'(t)=A(t)y [/mm].
>  Die "Aufgabenstellung" ist ein Text
> aus einem Buch. Ich weiß jetzt nicht, warum [mm]y(t)[/mm] eine
> Lösung von (H) ist.


Das musst Du doch nur nachrechnen !!!!!


[mm] $y'(t)=x'(t)-x'_{\*}(t)=Ax(t)+b(t)-(Ax_{\*}(t)+b(t))=A(t)(x(t)-x_{\*}(t))=A(t)y(t)$ [/mm]

FRED

>  Kann mir da vllt jemand helfen?
>  
> Vielen Dank
>  riju


Bezug
                
Bezug
Stabilität linearer Systeme: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:39 Di 28.04.2015
Autor: riju


> > Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem
> > [mm](L) x'(t)=A(t)x+b(t)[/mm]
>  >  wobei [mm]A \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n \times n}), b \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n})[/mm]
> > und es seien [mm]x_{\*}(t)[/mm] und [mm]x(t)[/mm] Lösungen von (L). Dann ist
> > [mm]y(t) := x(t) - x_{\*}(t)[/mm] eine Lösung von
> > [mm](H) y'(t)=A(t)y [/mm].
>  >  Die "Aufgabenstellung" ist ein
> Text
> > aus einem Buch. Ich weiß jetzt nicht, warum [mm]y(t)[/mm] eine
> > Lösung von (H) ist.
>  
>
> Das musst Du doch nur nachrechnen !!!!!
>  
>
> [mm]y'(t)=x'(t)-x'_{\*}(t)=Ax(t)+b(t)-(Ax_{\*}(t)+b(t))=A(t)(x(t)-x_{\*}(t))=A(t)y(t)[/mm]
>  
> FRED
>  
> >  Kann mir da vllt jemand helfen?

>  >  
> > Vielen Dank
>  >  riju
>  

Danke. So hatte ich das auch gedacht, hatte aber einen Denkfehler drin.

Dann hab ich noch einen kleine Frage. Ich habe folgenden Text:
Es sei [mm] Y(t) [/mm] ein Fundametalsystem für die Differentialgleichung (H), also ist [mm] y(t)=Y(t)Y^{-1}(t_{0}) y_{0} [/mm] die Lösung von (H) zum Anfangswert [mm] y(t_{0})=y_{0} [/mm].

Da muss ich bestimmt auch nur wieder nachrechnen. Kannst du mir vllt den Anfang geben?

Liebe Grüße
riju



Bezug
                        
Bezug
Stabilität linearer Systeme: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:47 Di 28.04.2015
Autor: riju

Also ich habe jetzt:
[mm] y=Y(t)\*c , c \in \IR^{n} [/mm]
Dann setze ich den Anfangswert ein um c zu berechnen. Dann komme ich auf:
[mm] y_{0}=Y(t_{0})\*c => c=Y^{-1}(t_{0})*y_{0} [/mm]
Somit komme ich auf:
[mm] y=Y(t)Y^{-1}(t_{0})y_{0}[/mm]

richtig?

Bezug
                                
Bezug
Stabilität linearer Systeme: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Do 30.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
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Stabilität linearer Systeme: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Do 30.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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