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| Aufgabe | Skizzieren Sie für folgende Diffgleichungen das Richtungsfeld und diskutieren Sie folgende Punkte: stabil, instabil, Gleichgewichtslösung, asymptotisch stabil
a.)2P´ [mm] =a(P-bP^{3}) [/mm] b,a>0 fest
b.)y´*(y´+4)=x-4
c.)y´=y+7x |
Hallo
zu a
Dieses Beispiel hab ich vorgerechnet vor mir liegen da wird das so gelöst
Gleichgewicht besteht bei y ´ =0 also
[mm] P(1-bP^{2}=0 [/mm] jetzt steht P=0 =>labile Gleichgewichtslage und [mm] P=\pm\wurzel{\bruch{1}{b}} [/mm] wie kommt man denn auf diesen Ausdruck? P=0 kann ich mir noch erklären, aber wieso der labil ist nicht mehr und bei [mm] P=\pm\wurzel{\bruch{1{b}}} [/mm] hab ich überhaupt keinen Plan
Jetzt wird untersucht ob die Lösung asymptotisch stabil sind
x´(t)=f(t)*x(t)+g(t)
[mm] \integral_{a}^{t}{f(u) du}\to -\infty [/mm] bei t [mm] \to +\infty
[/mm]
hier wird jetzt die Lösung der stabilen GGL verwendet
[mm] P=\wurzel{\bruch{1}{b}}
[/mm]
P ´ [mm] =\bruch{-1}{2*u^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
eingesetzt in die Diffgleichung und umgeformt zu
u ´ =-u*a+a*b
[mm] -\integral_{b}^{t}{a du}=-u=-at+ab=-\infty [/mm] Wird um die asymptotische stabilität zu prüfen immer die stabile Lösung in die Diffgleichung eingesetzt?
zu b.) wie kann ich hier y´=0 setzen um die labile GGL zu bekommen?
Könnt ihr mir vielleicht anschaulich erklären wie man solche Beispiele am einfachsten lösen kann
lg Stevo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 26.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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