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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
| Aufgabe | Stammfkt von
f(x) = [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{x^3-2} [/mm] |
Hallo
Was ist hier besser > Substitution oder partielle Integration?
LG Susi
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Hallo!
benutz auf jeden Fall die Substitution. Wenn du den Exponenten der e-Funktion als innere Funktion nimmst haste ja [mm] x^2 [/mm] als Teil der Ableitung der inneren Funktion. Dann lohnt sich immer die Substitution.
Also .. deine Fkt. lässt sich wie folgt beschreiben:
(*) [mm] x^2*e^{x^3-2}=f(g(x))*g'(x) [/mm]
[mm] x^3-2=g(x)=t
[/mm]
[mm] 3x^2=g'(x)
[/mm]
(*) [mm] x^2*e^t=f(t)*3x^2
[/mm]
[mm] \gdw f(t)=\bruch{e^t}{3}
[/mm]
So jetzt können wir das unbestimmte Integral deiner Funktion auch wie folgt schreiben:
[mm] \int{x^2*e^{x^3-2}}dx=\int{f(t)}dt
[/mm]
[mm] \gdw \int{\bruch{e^t}{3}}=\bruch{e^t}{3}+c [/mm]
Jetzt müssen wir einfach nur noch das t resubstituieren.
[mm] F(t)=\bruch{e^{x^3-2}}{3}+c [/mm] ist die gesuchte Stammfunktion.
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
| Aufgabe | Stammfkt von
f(x) sin(x) * cos (x) |
Hallo
Danke für die antwort. Wie siehts denn hier aus?
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Hallo Susanne,
dieses Integral lässt sich am besten mit partieller Integration lösen:
wähle dazu [mm] $u(x):=\sin(x)$ [/mm] und [mm] $v'(x):=\cos(x)$
[/mm]
Wenn du hier einmal partiell integrierst, taucht dein Ausgangsintegral wieder auf. Stelle nach dem Integral um und du hast die Lösung...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
hALLO
Hatte es mit partielle integration versucht.
u = sin(x)
v´ = cos(x)
u´ = cos(x)
v= sin(x)
[ sin(x) * sin(x)] [mm] -\integral_{a}^{b} [/mm] cos(x) * sin(x)
[ [mm] sin^2(x) [/mm] ] - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] cos(x) * sin(x)
So nun stehn beim integral hinten ja wieder die ausgangsfkt > man müsste doch theoretisch das wieder mit partieller integration lösen. Is das nich dann ein endloser kreislauf. Hab keine ahnung wie ich jetzt weiter machen soll.
Lg Susi
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Hallo,
guck mal du hast ja folgendes stehen. Man sieht das nur wenn man beide Seiten der Gleichung aufschreibt.
integration versucht.
[mm] \integral_{a}^{b}cos(x)*sin(x)=[sin(x)*sin(x)]-\integral_{a}^{b}cos(x)*sin(x)
[/mm]
[mm] \gdw 2*\integral_{a}^{b}cos(x)*sin(x)=[sin(x)*sin(x)]
[/mm]
Jetzt teil nur noch durch 2 und da steht das gesuchte Integral..
Liebe Grüße
Andreas
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.. ich seh grad, dass die Stammfkt. gesucht war. Dann lass einfach a und b als Grenzen weg, die eckigen Klammern fallen natürlich auch weg.
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo
vll F (x) = 1/2 [mm] sin^2(x) [/mm] ??
LG Susi
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Ja so ist es! 
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Susi!
Dies ist z.B. eine Aufgabe, bei der man auch mit mehreren Substitutionen vorgehen kann:
Variante 1 Substitution $u \ := \ [mm] \sin(x)$
[/mm]
Variante 2 Umformen [mm] $\sin(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\sin(2x)$ [/mm] .
Anschließend Substitution $u \ := \ 2x$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 22.04.2007 | | Autor: | SusaSch |
Hallo
Mal noch ne kleine Frake zur Substituion . Was wählt man als t?`
Bei z.B. x* e^(3x) > is t ja am besten das 3x.
Aber bei dem sin(x)*cos(x) > woher weiß ich was ich nehmen soll > oder ist das egal?
Hätte man bei x*e^(3x) auch das x am anfang als t wählen können?
LG Susi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 22.04.2007 | | Autor: | ONeill |
> Hallo
> Mal noch ne kleine Frake zur Substituion . Was wählt man
> als t?'
Also t ist deine Substitutionsvariable?
> Bei z.B. x* e^(3x) > is t ja am besten das 3x.
Da würde ich partielle Integration anwenden
> Aber bei dem sin(x)*cos(x) > woher weiß ich was ich nehmen
> soll > oder ist das egal?
Die Ableitung von sin(x) ist gleich cos(x). Dann würde sich cos(x) später rauskürzen. Aber hier ist das eigentlich ganz egal welches man als t bezeichnet, denn die Ableitung von cos(x) ist -sin(x). Kommt letztendlich somit auf das gleiche heraus.
Gruß ONeill
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