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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Do 16.05.2019 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | Man prüfe, ob folgende Funktionen eine Stammfunktion besitzen:
f [mm] \colon \mathbb{C}\backslash [/mm] 0 [mm] \mapsto \mathbb{C} [/mm] f= [mm] \frac{e^z-1}{z}
[/mm]
g [mm] \colon \mathbb{C}\backslash [/mm] 0 [mm] \mapsto \mathbb{C} [/mm] g= [mm] \frac{e^z-1}{z^2} [/mm] |
Hallo liebes Forum,
vorweg, den Integralsatz oder Ähnliches habe ich nicht zur Verfügung. Ich kann die Existenz einer Stammfunktion nur beweisen, indem ich eine solche angebe oder zeige, dass das Integral über jeden geschlossenen Weg Null ergibt.
Meine Vermutung ist, dass f,g keine Stammfunktion besitzen, ich bräuchte als nur eine gschlossene Kurve, für die das Integral nicht Null wird. Aber alle versuchen scheitern daran, dass ich sehr unschöne Integral bekomme, die ich nicht lösen kann.
Ich dachte auch noch an [mm] (\gamma [/mm] ist Kreis um 0:
[mm] \int_{\gamma} [/mm] f(z) dz = [mm] \int_{\gamma} \frac{e^z}{z} [/mm] - [mm] \int_{\gamma} \frac{1}{z} [/mm] = [mm] \int_{\gamma} \frac{e^z}{z} [/mm] -2 [mm] \pi [/mm] i
Jetzt würde es ja reichen zu zeigen, dass [mm] \int_{\gamma} \frac{e^z}{z} [/mm] nicht für jeden Kreisbogen den Wert 2 [mm] \pi [/mm] i annimmt.
Aber irgendwie finde ich das nicht. Das Wegintegral umformen hilft mir auch nicht weiter, da ich [mm] \int_{0}^{2 \pi }e^{e^{it}} [/mm] dtnicht integriert bekommen.
Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Do 16.05.2019 | | Autor: | fred97 |
> Man prüfe, ob folgende Funktionen eine Stammfunktion
> besitzen:
> f [mm]\colon \mathbb{C}\backslash[/mm] 0 [mm]\mapsto \mathbb{C}[/mm] f=
> [mm]\frac{e^z-1}{z}[/mm]
> g [mm]\colon \mathbb{C}\backslash[/mm] 0 [mm]\mapsto \mathbb{C}[/mm] g=
> [mm]\frac{e^z-1}{z^2}[/mm]
> Hallo liebes Forum,
>
> vorweg, den Integralsatz oder Ähnliches habe ich nicht zur
> Verfügung. Ich kann die Existenz einer Stammfunktion nur
> beweisen, indem ich eine solche angebe oder zeige, dass das
> Integral über jeden geschlossenen Weg Null ergibt.
>
> Meine Vermutung ist, dass f,g keine Stammfunktion besitzen,
> ich bräuchte als nur eine gschlossene Kurve, für die das
> Integral nicht Null wird. Aber alle versuchen scheitern
> daran, dass ich sehr unschöne Integral bekomme, die ich
> nicht lösen kann.
>
> Ich dachte auch noch an [mm](\gamma[/mm] ist Kreis um 0:
>
> [mm]\int_{\gamma}[/mm] f(z) dz = [mm]\int_{\gamma} \frac{e^z}{z}[/mm] -
> [mm]\int_{\gamma} \frac{1}{z}[/mm] = [mm]\int_{\gamma} \frac{e^z}{z}[/mm] -2
> [mm]\pi[/mm] i
>
> Jetzt würde es ja reichen zu zeigen, dass [mm]\int_{\gamma} \frac{e^z}{z}[/mm]
> nicht für jeden Kreisbogen den Wert 2 [mm]\pi[/mm] i annimmt.
Tut es aber. Nimm die Potenzreihe der Exponentialfunktion, dividiere durch z und integriere gliedweise, dann solltest Du es sehen.
Die Funktion f hat in 0 eine hebbare Singularität, kann also auf ganz [mm] \IC [/mm] zu einer holomorphen Funktion fortgesetzt werden. Damit hat f eine Stammfunktion.
Zu g: integriere g über einen Kreis um 0. Das Integral wird nicht = 0 ausfallen.
benutze wieder die Potenzreihe und integriere gliedweise.
> Aber irgendwie finde ich das nicht. Das Wegintegral
> umformen hilft mir auch nicht weiter, da ich [mm]\int_{0}^{2 \pi }e^{e^{it}}[/mm]
> dtnicht integriert bekommen.
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:06 Fr 17.05.2019 | | Autor: | Stala |
Cool Danke.
Mit der Idee ging es ja wirklich gut
VG
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