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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 Mi 12.07.2006 | | Autor: | TAL |
| Aufgabe | Berechnen Sie das unbestimmte Integral:
[mm] \integral_{}^{}\bruch{\cos(x)}{\sin(x)*(1+\cos(x))}\,dx [/mm] |
Kann mir jemand sagen wie man dieses integral löst.
mfg tal
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Hallo TAL!
Bei diesem Integral sind mehrere Schritte erforderlich:
1. Substitution: $t \ := \ [mm] 1+\cos(x)$ $\gdw$ $\cos(x) [/mm] \ = \ t-1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $t' \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] -\sin(x)$
[/mm]
2. trigonometrischer Pythagoras:
[mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $\sin^2(x) [/mm] \ = \ [mm] 1-\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] [1+\cos(x)]*[1-\cos(x)] [/mm] \ = \ t*(2-t)$
3. Partialbruchzerlegung
4. Integration
5. Resubstitution
Mein Ergebnis (bitte nachrechnen, da ohne Gewähr):
[mm] $\bruch{1}{4}*\ln|\cos(x)+1|+\bruch{1}{2*[\cos(x)+1]}-\bruch{1}{4}*\ln|\cos(x)-1|+C [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\ln\left|\bruch{\cos(x)+1}{\cos(x)-1}\right|+\bruch{1}{2*[\cos(x)+1]}+C$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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