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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Di 25.03.2008 | | Autor: | kermit |
| Aufgabe | | Gib die Stammfunktion der Funktion f(x) = [mm] \bruch{e^t}{(1+e^t)^2} [/mm] an |
Hallo,
naja, ich weiß was ich machen muss, habs mit allem probiert. Kam aber nie was vernüftiges raus, bitte um Hilfe.
Dankeeee :)
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Hi, kermit,
wär' gut, wenn Du Deine "Versuche" mit angeben würdest!
Tipp: Substitution z = [mm] (1+e^{t}) [/mm] führt auf das Integral
[mm] \integral{\bruch{1}{z^{2}}dz}
[/mm]
was ja nicht allzu schwierig zu integrieren ist!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Di 25.03.2008 | | Autor: | kermit |
Naja gut, erstmal vielen Dank.
Meine Versuche endeten aber direkt nachm Anfang. Aber du hast Recht, tut mir Leid :(
Ich rechne hier mal weiter:
[mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] z' = [mm] 2e^t*(1+e^t)
[/mm]
Dann [mm] \bruch{1}{z'} [/mm] * [mm] -\bruch{1}{z^2}
[/mm]
Dann resubstituieren und fertig ?!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 25.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist so Telegrammstil, dass ich nichts verstehe
> Naja gut, erstmal vielen Dank.
Was heisst hier naja?
> Meine Versuche endeten aber direkt nachm Anfang. Aber du
> hast Recht, tut mir Leid :(
>
> Ich rechne hier mal weiter:
>
> [mm]\bruch{1}{z^2}[/mm] z' = [mm]2e^t*(1+e^t)[/mm]
Was soll das z'sein? von was die Ableitung?
>
> Dann [mm]\bruch{1}{z'}[/mm] * [mm]-\bruch{1}{z^2}[/mm]
und das hier?
völlig unklar!
Schreib auf, wie du substituierst, welches Integral dabei rauskommt, dann die Stammfkt. Dann hab ich ne chance zu wissen, was du gemacht hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 25.03.2008 | | Autor: | kermit |
Alles klar :) fang ich mal oben an
f(x) = [mm] \bruch{e^x}{(1+e^x)^2}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{e^x}{(1+e^x)^2} dx}
[/mm]
So, nun habe ich den Nenner mit [mm] (1+e^x) [/mm] = z substituiert
Damit steht da
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{e^x}{z^2} dx}
[/mm]
Für die Substitution muss ich ja (Umkehrung Kettenregel), die Ableitung des Nenners in den Zähler "basteln", die Ableitung wäre z' = [mm] 2e^x*(1+e^x)
[/mm]
So weit bin ich gekommen. Jetzt weiß ich noch ungefähr, dass man, wenn ein Faktor x fehlt, die Ableitung nach dx umformen muss:
[mm] 2e^x*(1+e^x) [/mm] = [mm] \bruch{dx}{dz}
[/mm]
dx = dz * [mm] (2e^x*(1+e^x))
[/mm]
Dann setzt man in der "Ausgangsfunktion" für dx den obigen Ausdruck ein:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{e^x}{z^2} dz*(2e^x*(1+e^x))}
[/mm]
Das Ganze stellt man jetzt zu einem "richtigen" Integral um...
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2e^{2x}*(1+e^x)}{z^2} * dz}
[/mm]
jetzt müsste man integrieren können und für dz resubstituieren, auflösen und fertig, aber das ist garantiert falsch :S
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Hallo Karsten,
> Alles klar :) fang ich mal oben an
>
> f(x) = [mm]\bruch{e^x}{(1+e^x)^2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{e^x}{(1+e^x)^2} dx}[/mm]
>
> So, nun habe ich den Nenner mit [mm](1+e^x)[/mm] = z substituiert ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber lass mal hier und im Folgenden die Grenzen weg oder du musst sie ebenfalls mit substituieren ...
Schauen wir uns lieber das unbestimmte Intergral (ohne Grenzen) an
> Damit steht da
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{e^x}{z^2} dx}[/mm]
>
> Für die Substitution muss ich ja (Umkehrung Kettenregel),
> die Ableitung des Nenners in den Zähler "basteln", die
> Ableitung wäre z' = [mm]2e^x*(1+e^x)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast doch [mm] $z=z(x)=1+e^x$ [/mm] substituiert, dann musst du auch von diesem $z$ die Ableitung bilden:
[mm] $z'(x)=\frac{dz}{dx}=e^x$
[/mm]
Und damit also [mm] $dx=\frac{dz}{e^x}$
[/mm]
>
> So weit bin ich gekommen. Jetzt weiß ich noch ungefähr,
> dass man, wenn ein Faktor x fehlt, die Ableitung nach dx
> umformen muss:
>
> [mm]2e^x*(1+e^x)[/mm] = [mm]\bruch{dx}{dz}[/mm]
>
> dx = dz * [mm](2e^x*(1+e^x))[/mm]
s.o.
>
> Dann setzt man in der "Ausgangsfunktion" für dx den obigen
> Ausdruck ein:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{e^x}{z^2} dz*(2e^x*(1+e^x))}[/mm]
>
> Das Ganze stellt man jetzt zu einem "richtigen" Integral
> um...
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{2e^{2x}*(1+e^x)}{z^2} * dz}[/mm]
Wenn du das mit der obigen Bemerkung richtig "ein- und ersetzt", kommst du auf
[mm] $\int{\frac{e^x}{(1+e^x)^2} \ dx}=\int{\frac{e^x}{z^2} \ \frac{dz}{e^x}}$
[/mm]
Nun das [mm] $e^x$ [/mm] wegkürzen:
[mm] $=\int{\frac{1}{z^2} \ dz}$
[/mm]
Hier standen zwar zwischenzeitlich kurz beide Variablen $x$ und $z$ im Integral, aber das [mm] $e^x$ [/mm] hat sich ja direkt rausgekürzt.
Falls das gegen dein ästhetisches Empfinden ist  , kannst du mit Hilfe deiner Substitution [mm] $z=1+e^x$ [/mm] weiter umformen zu [mm] $e^x=z-1$ [/mm] und das [mm] $e^x$ [/mm] dann jeweils noch durch $z-1$ ersetzen, das bringt aber eigentlich keine tiefe Erkenntnis, da sich das ebenfalls direkt gegeneinander wegkürzt
Es bleibt also im Endeffekt das Integral [mm] $\int{\frac{1}{z^2} \ dz}$ [/mm] zu lösen und anschließend zu resubstituieren
>
> jetzt müsste man integrieren können und für dz
> resubstituieren, auflösen und fertig, aber das ist
> garantiert falsch :S
Jo
LG
schachuzipus
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