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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Mi 23.04.2008 | | Autor: | MadTaus |
| Aufgabe | | Wie / mit welcher Methode kann man hier eine Stammfunktion finden? |
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2x^{2}+2}{(x+1)^{2}} dx}
[/mm]
Ich bräuchte eventuell einen Ansatz.
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Hallo MadTaus,
forme den Bruch ein wenig um, dann kannst du das Integral in die Summe dreier einfacher Integrle zerlegen:
Es ist [mm] $\frac{2x^2+2}{(x+1)^2}=2\cdot{}\frac{x^2+1}{x^2+2x+1}=2\cdot{}\left(\frac{x^2\red{+2x-2x}+1}{x^2+2x+1}\right)=2\cdot{}\left(1-\frac{2x}{x^2+2x+1}\right)=2\cdot{}\left(1-\frac{2x\red{-2+2}}{x^2+2x+1}\right)=2\cdot{}\left(1-\frac{2x+2}{x^2+2x+1}+\frac{2}{(x+1)^2}\right)$
[/mm]
Also hast du zu berechnen: [mm] $2\cdot{}\int\limits_{0}^1{\left(1-\frac{2x+2}{x^2+2x+1}+\frac{2}{(x+1)^2}\right) \ dx}=2\cdot{}\left[\int\limits_{0}^1{1 \ dx}-\int\limits_0^1{\frac{2x+2}{x^2+2x+1} \ dx}+\int\limits_0^1{\frac{2}{(x+1)^2} \ dx}\right]$
[/mm]
Das erste und das letzte Integral sind trivial, für das mittlere verwende die Substitution [mm] $u:=x^2+2x+1$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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