Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Do 12.06.2008 | | Autor: | summer00 |
| Aufgabe | Die Stammfunktion ist gesucht:
[mm] f;\IR \to \IR: f(x):=x^{2}sin(x)
[/mm]
[mm] f:\IR \to \IR: f(x):=sin^{2}x
[/mm]
[mm] f:(0,\infty)\to\IR:=\bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{x}-1}}
[/mm]
[mm] f:\IR \to \IR: [/mm] f(x):=arctan [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] |
Hallo!
Kann uns jemand erklären oder am besten ein willkürliches Beispiel geben, wie man bei sowas vorgehen muss? Irgendwer sagte, wir sollen das mal mit partielle Integration probieren, aber wir haben das nicht hinbekommen.Wir sind für jede Hilfe dankbar. Vielen Dank
|
|
| |
|
> Die Stammfunktion ist gesucht:
>
> [mm]f;\IR \to \IR: f(x):=x^{2}sin(x)[/mm]
> [mm]f:\IR \to \IR: f(x):=sin^{2}x[/mm]
>
> [mm]f:(0,\infty)\to\IR:=\bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{x}-1}}[/mm]
> [mm]f:\IR \to \IR:[/mm] f(x):=arctan [mm]\wurzel[3]{x}[/mm]
> Hallo!
> Kann uns jemand erklären oder am besten ein willkürliches
> Beispiel geben, wie man bei sowas vorgehen muss? Irgendwer
> sagte, wir sollen das mal mit partielle Integration
> probieren, aber wir haben das nicht hinbekommen.
Bei der ersten und zweiten Funktion scheint mir partielle Integration schon eine gar nicht mal so schlechte Idee:
[mm]\begin{array}{lcl}
\displaystyle\int \underset{\downarrow}{x^2}\cdot\underset{\uparrow}{\sin(x)}\; dx &=& \displaystyle-x^2\cdot\cos(x)+2\int \underset{\downarrow}{x}\cdot\underset{\uparrow}{\cos(x)}\; dx\\
&=& \displaystyle -x^2\cos(x)+2x\sin(x)-2\int \sin(x)\;dx\\
&=& \displaystyle-x^2\cos(x)+2x\sin(x)+2\cos(x)+C
\end{array}[/mm]
hübscher machen könnt ihr dies nach Bedarf selbst.
Bei der nächsten Funktion ist ein kleiner Trick angesagt:
[mm]\begin{array}{lcl}
\displaystyle\int \sin^2(x)\; dx &=& \displaystyle\int\underset{\uparrow}{\sin(x)}\cdot\underset{\downarrow}{\sin(x)}\; dx\\
&=& \displaystyle-\cos(x)\sin(x)+\int\cos^2(x)\; dx\\
&=& \displaystyle-\cos(x)\sin(x)+\int 1-\sin^2(x)\; dx\\
&=& \displaystyle-\cos(x)\sin(x)+x-\int \sin^2(x)\; dx
\end{array}[/mm]
Indem man nun beidseitig [mm] $\int \sin^2(x)\; [/mm] dx$ addiert und durch 2 teilt erhält man
[mm]\int\sin^2(x)\; dx=\frac{1}{2}\left(x-\cos(x)\sin(x)\right)=\frac{2x-\sin(2x)}{4}[/mm]
Bei der nächsten Funktion sehe ich eher einen Fall für Substitution
[mm]\int \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\; dx=\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\cdot (\mathrm{e}^x+1)\; dx[/mm]
Substituiere also [mm] $u=\mathrm{e}^x+1$, [/mm] ergibt [mm] $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\; du=2\sqrt{u}+C=2\sqrt{\mathrm{e}^x+1}+C$
[/mm]
Bei der letzten Funktion bin ich im ersten Moment überfragt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Do 12.06.2008 | | Autor: | summer00 |
> > Die Stammfunktion ist gesucht:
> >
> > [mm]f:(0,\infty)\to\IR:=\bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{x}-1}}[/mm]
> Bei der nächsten Funktion sehe ich eher einen Fall für
> Substitution
>
> [mm]\int \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\; dx=\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\cdot (\mathrm{e}^x+1)\; dx[/mm]
>
> Substituiere also [mm]u=\mathrm{e}^x+1[/mm], ergibt [mm]\int \frac{1}{\sqrt{u}}\; du=2\sqrt{u}+C=2\sqrt{\mathrm{e}^x+1}+C[/mm]
Hallo!
Vielen Dank für die Hilfe.
Wie kommst du bei der Augabe auf
$ [mm] \int \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\; dx=\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\cdot (\mathrm{e}^x+1)\; [/mm] dx $
Eigentlich lautet die Aufgabe ja [mm] \bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{x}-1 }}
[/mm]
wie kommst du beim Zähler auf die Plus 1? und unterm Bruch auf das Plus?
Irgendwie versteh ich das nicht.
Danke schon einmal
|
|
|
| |
|
Hi,
> Wie kommst du bei der Augabe auf
> [mm]\int \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\; dx=\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\cdot (\mathrm{e}^x+1)\; dx[/mm]
>
> Eigentlich lautet die Aufgabe ja
> [mm]\bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{x}-1 }}[/mm]
>
> wie kommst du beim Zähler auf die Plus 1? und unterm Bruch
> auf das Plus?
> Irgendwie versteh ich das nicht.
> Danke schon einmal
Eigentlich verstehe ich das auch nicht so recht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
aber ich würde wie auch schon vorgeschlagen einfach substituieren.
Setzte dazu [mm] \\z=e^{x}-1. [/mm]
Als Stammfunktion sollest du [mm] \\F(x)=2\cdot\wurzel{e^{x}-1}+C [/mm] erhalten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Do 12.06.2008 | | Autor: | summer00 |
Kann uns jemand erklären wie genau Integration mit Substitution funktioniert? Bzw was genau ist da der Vorteil?
Man benötigt dabei doch auch wieder die Stammfunktionen der einzelnen Funktionsteile(?)
|
|
|
| |
|
Nein, man benötigt eben nicht die Stammfunktion beider Faktoren.
Betrachten wir z.B. [mm] \integral{ln(x) dx}. [/mm] Niemand kann einfach so die Stammfunktion berechnen. Es geht mit folgendem Trick (wie der erste Mensch darauf gekommen ist, ist mir auch schleierhaft):
[mm] \integral{ln(x) dx}=\integral{1*ln(x) dx}=x*ln(x)-\integral{x*1/x dx}...
[/mm]
Statt ln zu integrieren, haben wir 1 integriert und ln differenziert!
[mm] ...=x*ln(x)-\integral{1 dx}=x*ln(x)-x.
[/mm]
Probe:Ableiten des Ergebnisses mit der Produktregel gibt wieder
1*ln(x)+x*1/x-1=ln(x).
An keiner Stelle wurde "wirklich" der ln integriert.
Genau so verhält es sich mit deiner 2. Aufgabe [mm] =\integral{sin^2(x) dx}:
[/mm]
Nirgendwo wird wirklich [mm] sin^2(x) [/mm] integriert, sondern durch die partielle Integration wird [mm] sin^2(x) [/mm] durch [mm] cos^2(x) [/mm] ausgetauscht, dies als [mm] 1-sin^2(x) [/mm] ersetzt. Dann erscheint auf einmal auf beiden Seiten der Gleichung [mm] \integral{sin^2(x) dx} [/mm] mit verschiedenen Vorzeichen, man bringt alles auf eine Seite, und obwohl man nicht einmal dieses oder ein ähnliches Integral (z.B. für [mm] cos^2(x)) [/mm] berechnet hat, weiß man, was herauskommt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Fr 13.06.2008 | | Autor: | summer00 |
Hallo!
Danke sehr, aber die partitionelle Integration haben wir verstanden. Was uns noch unklar ist ist die substitutionelle Integration. Dort muss man doch von beiden Faktoren die Stammfunktion bilden oder nicht? Könnte uns jemand erklären, wie das mit der Substitutionellen Integration funktioniert?
|
|
|
| |
|
Hi,
Ich kann dir das die Integrationd durch Substitution durch ein einfaches Beispeil näher bringen. Betrachten wir folgende Funktion. [mm] \\f(x)=x\cdot\\sin(\bruch{x^{2}}{2}). [/mm] Gesucht ist nun die Fläche die der Graph [mm] \\f(x) [/mm] mit der x Achse einschließt im Intervall 0 bis [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
ZU berechnen ist also folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{5}{2}}{x\cdot\\sin(\bruch{x^{2}}{2}) dx}. [/mm] Wir könnten nun hier die partielle Integration verwenden aber einfacher und schneller geht es mit einer Substitution. Dazu wählen wir als Substitution [mm] \\z=\bruch{x^{2}}{2}. \Rightarrow \bruch{dz}{dx}=x \gdw \\dx=\bruch{dz}{x}. [/mm] Eingesetzt in das Integral und beachte dass sich die Grenzen nun auch geändert haben wuf Grund der Substitution, folgt:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{25}{8}}{\green{x}\cdot\\sin(z) \bruch{dz}{\green{x}}}=\integral_{0}^{\bruch{25}{8}}{\\sin(z) dz} \rightarrow [/mm] das grüne x kann ich kürzen.
Nun musst du nur noch die Stammfunktion von [mm] \\sin(z) [/mm] finden und das ist ja nicht schwer.
Ist es jetzt klarer geworden?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
|
|
|
| |
|
[mm] Beispiel:\integral{\bruch{x}{\wurzel{x-1} }dx}.
[/mm]
Hier ist nix mit Faktor und Funktion integrieren.
Setze t=x-1 und damit x=t+1 sowie dx = dt
[mm] ...=\integral{\bruch{t+1}{\wurzel{t} }dt}=\integral{(\bruch{t}{\wurzel{t}}+\bruch{1}{\wurzel{t}) }dt}=\integral{(\wurzel{t}+\bruch{1}{\wurzel{t}) }dt}=\bruch{2}{3}t^\bruch{3}{2}+2\wurzel{t}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Di 17.06.2008 | | Autor: | summer00 |
[mm] \integral_{1}^{e^{\pi}}{x sin(ln(x)) dx}
[/mm]
sin(ln(x)) wir ersetzt durch t [mm] \Rightarrow \integral_{1}^{e^{\pi}}{(x*t) dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{1}{2}}^{\bruch{e^{2*\pi}}{2}}{(x) dx}=\bruch{1}{2}*(\bruch{e^{2*\pi}}{2})^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8}=\bruch{1}{8}*(e^{4*\pi}-1)
[/mm]
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo summer,
das klappt so nicht, zum einen musst du natürlich auch das Differential dx in dt ausdrücken, zum anderen kannst du nicht "gemischte" Terme mit beiden Variablen im Integral integrieren.
M.E. ist die Substitution, die du gewählt hast, nicht die glücklichste.
Versuch's mal mit der Substitution [mm] $t:=\ln(x)$
[/mm]
Dann ist [mm] $t'=\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$, [/mm] also $dx=x \ dt$
Dann gibt das (ohne Grenzen)
[mm] $\int{x\cdot{}\sin(\ln(x)) \ dx}=\int{x\cdot{}\sin(t)\cdot{}x \ dt}=\int{x^2\cdot{}\sin(t) \ dt}=\int{e^{2t}\cdot{}\sin(t) \ dt}$, [/mm] denn aus [mm] $t=\ln(x)$ [/mm] folgt [mm] $x=e^t$, [/mm] also [mm] $x^2=e^{2t}$
[/mm]
Nun hast du nur eine Variable im Integral, welches du nun mit partieller Integration weiter verarzten kannst ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hier bietet sich die partielle Integration an!!! (wie fast immer bei Produkten aus Polynom, trig. Fkt., e-Fkt und ln).
[mm]\integral{x sin(ln(x)) dx}[/mm]= ...(setze u'=x und v=sin(ln(x))
...= [mm]\bruch{1}{2}x^2 sin(ln(x)) -\integral{\bruch{1}{2}x^2 cos(ln(x))*\bruch{1}{x}dx}[/mm]= [mm]\bruch{1}{2}x^2 sin(ln(x)) -\red{\integral{\bruch{1}{2}x cos(ln(x))dx}}[/mm]
Das letzte Integral sieht aus wie das gesuchte, nur steht da der cos statt sin. Deshalb noch mal das selbe in grün:
[mm]\integral{x cos(ln(x)) dx}[/mm]= ...(setze u'=x und v=cos(ln(x))
...= [mm]\bruch{1}{2}x^2 cos(ln(x)) -\integral{\bruch{1}{2}x^2 (-sin((ln(x)))*\bruch{1}{x}dx}[/mm]= [mm]\bruch{1}{2}x^2 cos(ln(x)) +\integral{\bruch{1}{2}x sin(ln(x))dx}[/mm]
Nun ersetzen wir den roten Teil durch das letzte Ergebnis:
[mm]\integral{x sin(ln(x)) dx}[/mm]= ]= [mm]\bruch{1}{2}x^2 sin(ln(x)) -\red{\integral{\bruch{1}{2}x cos(ln(x))dx}}[/mm]= [mm]\bruch{1}{2}x^2 sin(ln(x)) -\bruch{1}{4}x^2 cos(ln(x)) -\integral{\bruch{1}{4}x sin(ln(x))dx}[/mm].
Bringen wir nun das rechte Integral auf die linke Seite, so erhalten wir:
[mm]\bruch{5}{4}\integral{x sin(ln(x)) dx}[/mm]= [mm]\bruch{1}{2}x^2 sin(ln(x)) -\bruch{1}{4}x^2 cos(ln(x)) [/mm].
Mit [mm] \bruch{4}{5} [/mm] Multipliziert ergibt sich nun als Stammfunktion
[mm]\integral{x sin(ln(x)) dx}[/mm]= [mm]\bruch{2}{5}x^2 sin(ln(x)) -\bruch{1}{5}x^2 cos(ln(x)) [/mm].
Auch hier gilt: Nirgends wird "wirklich" sin, cos oder ln integriert, wohl aber differenziert. Stattdessen wird x integriert, und das ist ja wohl simpel...
|
|
|
| |
|
> > > Die Stammfunktion ist gesucht:
> > >
> > > [mm]f:(0,\infty)\to\IR:=\bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{x}-1}}[/mm]
>
> > Bei der nächsten Funktion sehe ich eher einen Fall für
> > Substitution
> >
> > [mm]\int \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\; dx=\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\cdot (\mathrm{e}^x+1)\; dx[/mm]
>
> >
> > Substituiere also [mm]u=\mathrm{e}^x+1[/mm], ergibt [mm]\int \frac{1}{\sqrt{u}}\; du=2\sqrt{u}+C=2\sqrt{\mathrm{e}^x+1}+C[/mm]
>
>
>
> Hallo!
> Vielen Dank für die Hilfe.
> Wie kommst du bei der Augabe auf
> [mm]\int \frac{\mathrm{e}^x}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\; dx=\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}}\cdot (\mathrm{e}^x+1)\; dx[/mm]
>
> Eigentlich lautet die Aufgabe ja
> [mm]\bruch{e^{x}}{\wurzel{e^{x}-1 }}[/mm]
>
> wie kommst du beim Zähler auf die Plus 1? und unterm Bruch
> auf das Plus?
Blosses Versehen: tut mir leid. Das Vorgehen ist aber in beiden Fällen das selbe.
|
|
|
| |
|
Hallo summer,
das letzte Integral ist wirklich ekelhaft ![[scheisskram]](/images/smileys/scheisskram.gif "[scheisskram]")
Aber ich habe dazu eine ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
Schreiben wir mal das [mm] $\sqrt[3]{x}$ [/mm] als [mm] $x^{\frac{1}{3}}$
[/mm]
Dann kannst du einen kleinen Trick versuchen:
Schreibe [mm] $\int{\arctan\left(x^{\frac{1}{3}}\right) \ dx}=\int{1\cdot{}\arctan\left(x^{\frac{1}{3}}\right) \ dx}$
[/mm]
Das nun partiell integrieren:
[mm] $=x\cdot{}\arctan\left(x^{\frac{1}{3}}\right)-\int{\frac{x}{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2+1}\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}x^{-\frac{2}{3}} \ dx}$
[/mm]
[mm] $=x\cdot{}\arctan\left(x^{\frac{1}{3}}\right)-\frac{1}{3}\cdot{}\int{\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}+1} \ dx}$
[/mm]
Das hintere Integral lässt sich nun ganz gut mit der Substitution [mm] $u:=x^{\frac{2}{3}}+1$ [/mm] knacken ...
LG
schachuzipus
|
|
|
|
