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Stammfunktion: 1/x*ln(x) dx
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Fr 04.02.2005
Autor: katole

Hallo, liebe Leute!

Könnte mir bitte jemand 'verständlich' den Weg von 1/x*ln(x) zu seiner Stammfunktion erklären?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stammfunktion: Partielle Integration (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Fr 04.02.2005
Autor: Marcel

Hallo Katole!

> Hallo, liebe Leute!
>  
> Könnte mir bitte jemand 'verständlich' den Weg von
> 1/x*ln(x) zu seiner Stammfunktion erklären?

Also, das folgende gilt, falls du [mm] $\frac{1}{x}*\ln(x)$ [/mm] meinst:

Offenbar muss $x > 0$ sein (da [mm] $\ln(x)$ [/mm] für $x [mm] \le [/mm] 0$ keinen Sinn macht), d.h. der Definitionsbereich von [mm] $f(x)=\frac{1}{x}*\ln(x)$ [/mm] sei [mm] $\IR_{\,>0}$. [/mm]
Nun definiere:
[mm] $u(x)=\ln(x)$ ($\Rightarrow$ $u'(x)=\frac{1}{x}$), $v'(x)=\frac{1}{x}$ [/mm]
Dann ist [mm] $v(x):=\ln(x)\;\;(=u(x))$ [/mm] eine Stammfunktion von $v'$.
Nach der partiellen MBIntegration [mm] ($\leftarrow$ click it, runter-scrollen) ergibt sich dann: [/mm] [m]\int {\underbrace{\ln(x)}_{=u(x)}*\underbrace{\frac{1}{x}}_{=v'(x)} dx}=\underbrace{\ln(x)}_{=u(x)}*\underbrace{\ln(x)}_{=v(x)}-\int{\underbrace{\frac{1}{x}}_{=u'(x)} *\underbrace{\ln(x)}_{=v(x)} dx}[/m]

Daraus ergibt sich dann (addiere auf beiden Seiten der Gleichung [m]\int{\frac{1}{x}*\ln(x) dx}[/m]):
[m]2*\int{\frac{1}{x}*\ln(x) dx}=(\ln(x))^2[/m]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $\int{\frac{1}{x}*\ln(x) dx}=\frac{1}{2}(\ln(x))^2\;\;(=\frac{1}{2}\ln^2(x))$ [/mm]

(Bemerkung: Die "Integrationskonstante" habe ich einfach mal weggelassen; man kann auch Integrationskonstanten "mitschleppen" und erhält dann am Ende:
[m]\int {\frac{1}{x}*\ln(x) dx}=\frac{1}{2}\ln^2(x)+C[/m] mit einer Konstanten $C$. Kommt drauf an, was man unter [mm] $\int {\frac{1}{x}*\ln(x) dx}$ [/mm] versteht; die Klasse aller Stammfunktion oder ... . Darauf will ich hier nicht näher eingehen.)

PS: Als Alternative kannst du das ganze auch mal über die MBIntegration durch Substitution (klick wieder auf den Link und scrolle) ausrechnen. Beide Wege sollten zum (gleichen) Ziel führen! :-)

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
                
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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Fr 04.02.2005
Autor: katole

Erstmal vielen Dank für die rasche Antwort!

Schritt 1 ist mir klar...

Doch ich verstehe nicht, wie man zur Behauptung kommt, dass sich aus dem 1. Schritt der part. Integration

[m]2*\int{\frac{1}{x*\ln(x)} dx}=(\ln(x))^2[/m]

ergibt!?

Das sieht mir aus wie Zauberei...

Die folgenden Schritte sind mir natürlich entsprechend auch rätselhaft...

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 Fr 04.02.2005
Autor: Marcel

Huch, ich habe mich böse verschrieben. Ich überarbeite den Artikel nochmal. [sorry]

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion: Nachfrage: Funktion
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Fr 04.02.2005
Autor: Marcel

Hallo Katole,

entschuldige, ich bin auch unverschämterweise davon ausgegangen, dass du [m]\frac{1}{x}*\ln(x)[/m] meinst. Meinst du das, oder ist deine gegebene Funktion diese hier:
[mm] $(\star)$ $\frac{1}{x*\ln(x)}$? [/mm]

Viele Grüße,
Marcel
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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Fr 04.02.2005
Autor: katole

Ist schon richtig... ;-)

Ich meinte

[m]\frac{1}{x}*\ln(x)[/m]

Habe den Lösungsweg, den du mir genannt hast auch entsprechend schon in Unterlagen gefunden...

Bin nur scheinbar zu blöd, diesen für mich etwas fremden Verlauf der partitionellen Integration nachzuvollziehen...

Der Weg der Substitution erscheint mir jedoch einleuchtend...

...Ich versuch's mal...

Wäre dir trotzdem bei Aufklärung zu größtem Dank verpflichtet!


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Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 Fr 04.02.2005
Autor: Paulus

Hallo katole

ohne auf die Integrationskonstante einzugehen, mache ich folgende Anmerkung: wenn Marcel etwas macht, dann sieht es nicht nur so aus wie Zauberei, nein, es ist Zauberei!! :-)

Jetzt aber im Ernst: ich denke die partielle Integration nach Marcels Anleitung ergibt:

[mm] $\int\bruch{1}{x}*\ln(x)\,dx=(\ln(x))^2-\int\ln(x)*\bruch{1}{x}\,dx$ [/mm]

Jetzt schau einfach mal die beiden Integrale zur Rechten und zur Linken  der Gleichung an. Sehen die nicht verdammt ähnlich aus? Ein Bisschen Kommutativgesetz, und schon ergibt sich eine vollkommene Deckungsgleichheit. :-)

Die Gleichung hat also in etwa diese Form:

[mm] $A=(\ln(x))^2-A$ [/mm]

Wenn du das nach $A$ aufzulösen hättest, würdest du wohl zur Gleichung $A_$ addieren ...

[mm] $2A=(\ln(x))^2$ [/mm]

... und dann noch durch $2_$ dividieren:

[mm] $A=\bruch{1}{2}(\ln(x))^2$ [/mm]

Alles klar?

Mit lieben Grüssen

Paul
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Bezug
Stammfunktion: dankende Verneigung... ;-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:42 Fr 04.02.2005
Autor: katole

Wahre Zauberei war hier zu werke... ;-)

Es bleiben keine Fragen offen... und das um 23:40 nach 13 Std. Mathe...

Ich danke euch beiden von ganzem Herzen...
Bezug
                                        
Bezug
Stammfunktion: weitere Zauberei: Substitution
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:43 Sa 05.02.2005
Autor: Marcel

Hallo Katole,

wenn du das über Substitution lösen willst:
Setze [mm] $u(x):=\ln(x)$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $u'(x)=\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$. [/mm]
Daraus folgt dann:
[m]\int{\frac{1}{x}*\ln(x)\; dx}=\int{\frac{du}{dx}u \;dx}=\int{u \;du}=\frac{1}{2}u^2=\frac{1}{2}(\ln(x))^2\;\;(=\frac{1}{2}\ln^2(x))[/m]

(Zum Glück mussten wir uns bei der Rechnung nicht mit "Integrationsgrenzen" herumplagen ;-); und eigentlich sollte man auch aufpassen, was da oben eigentlich passiert bei der Substitution. Aber wie hatte einer meiner Professoren mal gesagt:
Bei Integralen kann man auch mal einfach leichtsinnig drauflosrechnen und muss sich nicht bei jedem Schritt sicher sein, ob der machbar ist. (Wieso kann man [mm] $\frac{dx}{dx}$ [/mm] "kürzen"? Das ist ja gar nicht so klar, was da eigentlich passiert. Aber die Substitutionsregel ist ja zum Glück bewiesen. :-)). Man kann das Ergebnis ja auch prüfen, indem man die Funktion ableitet. Also:
Leite einfach mal: [mm] $\frac{1}{2}(\ln(x))^2$ [/mm] ab, dann wirst du sehen, dass das stimmt. ;-))

PS: Um Integrationskonstanten habe ich mich auch mal wieder nicht gekümmert [grins].

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
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