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| Aufgabe | 1) Eine Stammfunktion der Funktion f(x)=3/x , x>0 , ist gegeben durch
a) F(x)=ln(3+x) b) F(x)=ln(x/3) c) [mm] F(x)=ln(x^{3}) [/mm] d) F(x)=ln(3x)
2) Das uneigentliche Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}\bruch{e^{\alpha x}}{x^{\alpha}}dx [/mm] konvergiert für
a) [mm] \alpha [/mm] < 0 b) [mm] \alpha \le [/mm] 0 c) [mm] \alpha [/mm] > 0 d) [mm] \alpha \ge [/mm] 0 |
Hallo,
ich habe zu der ersten Aufgabe eine Lösung, aber bei der zweiten keinen Ansatz:
1) [mm] f(x)=\bruch{3}{x}=3\bruch{1}{x} [/mm] ---> F(x)=3*ln(x)=ln(3x) und somit müsste d) richtig sein.
2) ??? Für die Konvergenz muss ja das uneigentliche Integral null ergeben, richtig?
Danke vielmals.
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> 1) Eine Stammfunktion der Funktion f(x)=3/x , x>0 , ist
> gegeben durch
>
> a) F(x)=ln(3+x) b) F(x)=ln(x/3) c) [mm]F(x)=ln(x^{3})[/mm]
> d) F(x)=ln(3x)
>
>
> 2) Das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty}\bruch{e^{\alpha x}}{x^{\alpha}}dx[/mm]
> konvergiert für
>
> a) [mm]\alpha[/mm] < 0 b) [mm]\alpha \le[/mm] 0 c) [mm]\alpha[/mm] > 0
> d) [mm]\alpha \ge[/mm] 0
> Hallo,
>
> ich habe zu der ersten Aufgabe eine Lösung, aber bei der
> zweiten keinen Ansatz:
>
> 1) [mm]f(x)=\bruch{3}{x}=3\bruch{1}{x}[/mm] --->
> F(x)=3*ln(x)=ln(3x) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das ist falsch, denn es gilt doch $\ ln(3*x)\ =\ ln(3)+ln(x)$ , was im Allgemeinen
nicht mit $\ 3*ln(x)$ übereinstimmt !
Suche also dasjenige Logarithmengesetz, welches hier wirklich passt !
> und somit müsste d) richtig sein.
ist es nicht !
> 2) ??? Für die Konvergenz muss ja das uneigentliche
> Integral null ergeben, richtig? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein, es muss keines wegs null ergeben, sondern einfach
einen bestimmten reellen Zahlenwert.
Ich würde einmal versuchen, für ein paar konkrete Werte
von [mm] \alpha [/mm] zu Existenzaussagen oder Abschätzungen zu kommen.
LG Al-Chwarizmi
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So jetzt nochmals:
1) Mit Logarithmusgesetz [mm] log_{a}(x^{b})=b*log_{a}(x)
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{3}{x}=3*\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] F(x)=3*lnx=ln(x^{3}) [/mm] ---> somit müsste c) die Lösung sein
2) Da x>1 ist, kann für [mm] \alpha\le0 [/mm] nur eine Nullfolge herauskommen --> somit ist Antwort b) richtig.
Korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> So jetzt nochmals:
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> 1) Mit Logarithmusgesetz [mm]log_{a}(x^{b})=b*log_{a}(x)[/mm]
>
> [mm]f(x)=\bruch{3}{x}=3*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]F(x)=3*lnx=ln(x^{3})[/mm] ---> somit müsste c) die Lösung
> sein
Jetzt stimmts
>
>
> 2) Da x>1 ist, kann für [mm]\alpha\le0[/mm] nur eine Nullfolge
> herauskommen
Was meinst Du damit ???
FRED
--> somit ist Antwort b) richtig.
>
> Korrekt?
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> > So jetzt nochmals:
> >
> > 1) Mit Logarithmusgesetz [mm]log_{a}(x^{b})=b*log_{a}(x)[/mm]
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{3}{x}=3*\bruch{1}{x}[/mm]
> >
> > [mm]F(x)=3*lnx=ln(x^{3})[/mm] ---> somit müsste c) die Lösung
> > sein
>
>
> Jetzt stimmts
>
> >
> >
> > 2) Da x>1 ist, kann für [mm]\alpha\le0[/mm] nur eine Nullfolge
> > herauskommen
>
> Was meinst Du damit ???
wegen dem Integral [mm] \integral_{1}^{\infty} [/mm] ist ja das x>1 , somit muss man nur noch auf den Zähler schauen: Setze ich für [mm] \alpha [/mm] Zahlen [mm] \le0 [/mm] ein, dann habe ich den Exponenten von e negativ oder Null, d.h. [mm] e^{-\infty}=0 [/mm] oder [mm] e^{0}=1 [/mm]
nenner ist für [mm] \alpha=0 [/mm] Null und für [mm] \alpha<0 [/mm] ist [mm] \infty
[/mm]
oder mache ich habe da ein denkfehler, so dass ich die aufgabe integrieren muss und erst dann rückschlüsse ziehen kann?
>
>
> FRED
>
> --> somit ist Antwort b) richtig.
> >
> > Korrekt?
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Hallo monstre123,
> > Was meinst Du damit ???
>
> wegen dem Integral [mm]\integral_{1}^{\infty}[/mm] ist ja das x>1 ,
Genauer [mm]x\ge 1[/mm]
> somit muss man nur noch auf den Zähler schauen:
Genauer: für einen Konvergenznachweis suchst du eine konvergente Majorante, also ein größeres Integral, das bekannterweise konvergent ist oder bei dem man leicht zeigen kann, dass es kgt. ist.
Es ist [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{e^{\alpha x}}{x^{\alpha}} \ dx} \ \le \ \int\limits_{1}^{\infty}{e^{\alpha x} \ dx}[/mm] wegen [mm]x\ge 1\Rightarrow x^{\alpha}\ge 1^{\alpha}=1[/mm], also [mm]\frac{1}{x^{\alpha}}\le 1[/mm]
> Setze ich
> für [mm]\alpha[/mm] Zahlen [mm]\le0[/mm] ein, dann habe ich den Exponenten
> von e negativ oder Null,
Nicht ganz, für [mm]\alpha=0[/mm] hast du [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{e^0}{x^0} \ dx}=\int\limits_{1}^{\infty}{1 \ dx}=\infty[/mm], also divergent
> d.h. [mm]e^{-\infty}=0[/mm] oder [mm]e^{0}=1[/mm]
> nenner ist für [mm]\alpha=0[/mm] Null und für [mm]\alpha<0[/mm] ist [mm]\infty[/mm]
>
> oder mache ich habe da ein denkfehler, so dass ich die
> aufgabe integrieren muss und erst dann rückschlüsse
> ziehen kann?
Ich glaube, du meinst das schon richtig.
Berechne mal für die Majorante die Stammfunktion und untersuche, für welche [mm]\alpha[/mm] das konvergiert, da bist du auf einem guten Wege.
Dann solltest du aber zumindest ein Wort darüber verlieren, wieso das für die anderen [mm]\alpha[/mm] eben nicht konvergiert.
Gruß
schachuzipus
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