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Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Sa 11.08.2012
Autor: Bodo0686

Hallo Zusammen,

die Stammfunktion von [mm] $\frac{3}{2}sin(2t)$ [/mm] ist [mm] -\frac{3}{4}cos(2t). [/mm] Aber warum ist sie denn negativ? Der sinus abgeleitet ist doch der cosinus?
Gruß!

        
Bezug
Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Sa 11.08.2012
Autor: Bodo0686

Ach stimmt, ich leite doch garnicht ab...

Bezug
                
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Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Sa 11.08.2012
Autor: dennis2

s. letzte Antwort

Bezug
        
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Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Sa 11.08.2012
Autor: dennis2

Hallo!

Du möchtest also [mm] $\frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\, [/mm] dt$ berechnen.

Substituiere dazu $u=2t$.

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Sa 11.08.2012
Autor: Bodo0686


> Hallo!
>  
> Du möchtest also [mm]\frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\, dt[/mm]
> berechnen.
>  
> Substituiere dazu [mm]u=2t[/mm].

u=2t
[mm] t=\frac{u}{2} [/mm]

[mm] \frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\, [/mm] dt = [mm] \frac{3}{2}\int\limits\sin(u)\, \frac{du}{2} [/mm] = [mm] -\frac{3}{2}[cos(u)\frac{1}{2}]=-\frac{3}{4}cos(2t)dt [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Sa 11.08.2012
Autor: Marcel

Hallo,

nur kurz, damit es nicht im Raum stehen bleibt:

> die Stammfunktion von $ [mm] \frac{3}{2}sin(2t) [/mm] $ ist $ [mm] -\frac{3}{4}cos(2t).$ [/mm]
> Aber warum ist sie denn negativ? Der sinus abgeleitet ist doch der
> cosinus?

1.) strenggenommen ist [mm] $\frac{3}{2}\sin(2t)$ [/mm] keine Funktion. Aber die Sprechweise hat sich eingebürgert, und man sollte wissen, was man damit eigentlich meint: Nämlich eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $f(t):=\frac{3}{2}\sin(2t)\,.$ [/mm] Und im obigen Zusammenhang meistens mindestens eine, wo die Aussage Sinn macht. Oben also etwa $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(t):=\frac{3}{2}\sin(2t)\,.$ [/mm]

Also das mal nur nebenbei "rein prophylaktisch" bzw. zur Erinnerung.

Und was Du festgestellt hattest, ist korrekt: [mm] $\sin\,'=\cos\,.$ [/mm] Aber, und das beantwortet nun die Frage "warum negativ?": Es gilt [mm] $\cos\,'=\textbf{\red{-}}\;\sin\,.$ [/mm]

> > Hallo!
>  >  
> > Du möchtest also [mm]\frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\, dt[/mm]
> > berechnen.
>  >  
> > Substituiere dazu [mm]u=2t[/mm].
>
> u=2t
>  [mm]t=\frac{u}{2}[/mm]
>  
> [mm]\frac{3}{2}\int\limits\sin(2t)\,[/mm] dt =
> [mm]\frac{3}{2}\int\limits\sin(u)\, \frac{du}{2}[/mm] =
> [mm]-\frac{3}{2}[cos(u)\frac{1}{2}]=-\frac{3}{4}cos(2t)dt[/mm]  

2.) Korrekt - sofern Du bitte am Ende nicht [mm] $-\frac{3}{4}\cos(2t)\mathbf{\red{dt}}\,,$ [/mm] sondern 'nur' [mm] $-\frac{3}{4}\cos(2t)$ [/mm] schreibst!

Nur "rein technisch" würde man vielleicht besser den Überblick bewahren, wenn man "konstante Faktoren vor das Integral zieht". Aber das ist Geschmackssache - was ich meine, ist einfach, dass ich das so geschrieben hätte
[mm] $$\frac{3}{2}\int\sin(2t)\,dt=\frac{3}{2}\int \sin(u)\,\frac{du}{2}=\frac{3}{4}\int \sin(u)\,du=\frac{-3}{4}\cos(u)=\frac{-3}{4}\cos(2t)$$ [/mm]

Aber das ist nur ein Vorschlag, wie man manchmal ein wenig besser den Überblick behalten kann - musst Du aber nicht tun. Manchmal bringen solche einfachen Umformungen dahingehend etwas, bekanntes "schneller" zu erkennen.

P.S.
Mal spaßeshalber ein alternativer Lösungsweg:
[mm] $$\int \frac{3}{2}\sin(2t)\,dt=3\int \sin(t)\cos(t)dt=3*\left(-\cos(t)*\cos(t)-\int (-\cos(t))*\sin(t)\,dt\right)$$ [/mm]

Hieraus erkennt man insbesondere [mm] $\int \sin(t)\cos(t)\,dt=-\frac{1}{2}\cos^2(t)\,.$ [/mm] Setzt man das ein, ist man fast fertig.

Siehst Du das bzw. ist Dir klar, was ich gemacht habe?

(Hinweise: Man muss nochmal ein Additionstheorem verwenden, um zu einer Form zu gelangen, die ähnlich zu der von Dir gefundenen/angegebenen Lösung ist. Und beim Vergleich sollte man beachten, dass zwei Stammfunktionen [mm] $F_1,\,F_2$ [/mm] von einer Funktion [mm] $f\,$ [/mm] sich um eine konstante (Funktion) unterscheiden.)

Gruß,
  Marcel

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