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Stammfunktion Gebrochenration.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Do 15.02.2007
Autor: mike8080

Aufgabe
f(x) = 6x / [mm] (x^2+3)^2 [/mm]

Hallo Zusammen,

bin gerade am lernen und komme bei der Aufgabe nicht weiter und deshalb bitte ich um Hilfe!!!

Die Aufgabe lautet:
f(x) = [mm] x^2 [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] + 3)
und dazu soll die Ableitung gebildet werden!

ich bekomme als Lösung
f'(x) = 6x / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 3)^2 [/mm] (was glaub auch richtig ist)

aber wie kann ich jetzt von der Funktion f'(x) wieder aufleiten / (Stammfunktion bilden)???

Mein Ansatz war folgender:
f'(x)= [mm] 6x(x^2 [/mm] + 3)^-2
f(x) = 6x * 1/2x * (-1) [mm] (x^2 [/mm] +3)^-1
f(x) = 3 / [mm] (x^2 [/mm] +3)

aber eigentlich müsste ja f(x) = [mm] x^2 [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] + 3) raus kommen?
kann mir bitte jemand helfen?

Gruß Mike


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Stammfunktion Gebrochenration.: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Do 15.02.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Mike!




> ich bekomme als Lösung
> f'(x) = 6x / [mm](x^2[/mm] + [mm]3)^2[/mm] (was glaub auch richtig ist)

[ok] Ist es auch ...

  
> aber wie kann ich jetzt von der Funktion f'(x) wieder
> aufleiten / (Stammfunktion bilden)???
>  
> Mein Ansatz war folgender:
> f'(x)= [mm]6x(x^2[/mm] + 3)^-2
> f(x) = 6x * 1/2x * (-1) [mm](x^2[/mm] +3)^-1
> f(x) = 3 / [mm](x^2[/mm] +3)

[notok] Das ist falsch. Schließlich handelt es sich hier um ein Produkt aus Termen mit der Integrationsvariable $x_$ .

Du kommst hier am schnellsten zum Ziel durch Anwendung folgender Substitution:
$z \ := \ [mm] x^2+3$ $\Rightarrow$ [/mm]    $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ 2x$ .


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion Gebrochenration.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Do 15.02.2007
Autor: mike8080

Hallo Roadrunner, machst ja deinem Namen alle Ehre!!!
Erstmal danke für die schnelle Antwort.

Substitution?
geht des auch beim bilden von Ableitungen und Stammfunktionen? haben wir garnicht behandelt in der Schule :-(

ich hab es halt mit folgender Formel versucht:
f(x) = (ax + [mm] b)^n [/mm]
F(x) = 1/a * 1/n+1 (ax + b)^(n+1)
das funktioniert aber bei Gebrochenrationalen nur wenn ich kein x im Zähler habe!?!

Hast du mir noch nen Tip oder kannst du mir beim Substituiren noch auf die Sprünge helfen? was bringt mir das in meinem fall? ich verstehe nicht so ganz wie man da auf 2x kommen soll?


Bezug
                        
Bezug
Stammfunktion Gebrochenration.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Do 15.02.2007
Autor: Herby

Hallo mike,




zwei Erklärungen:


1. es ist:

[mm] (ax+b)^n\not=(ax^n)+b^n [/mm]

und somit der Ansatz einer Integration von Summanden nicht möglich.


2. die Substitution ist eigentlich gar keine, es wird nur eine verkettete Funktion in die Bestandteile zerlegt.


Hast du z.B:  $(irgendwas\ mit\ [mm] x)^{n}$ [/mm] - dann ist das so wie [mm] z^n [/mm]

in deinem Fall war [mm] z=x^2+3 [/mm] und davon die Ableitung ist $z'=2x$



nun klarer?


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                
Bezug
Stammfunktion Gebrochenration.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Do 15.02.2007
Autor: mike8080

Sorry aber irgendwie nicht so ganz... stehe glaub auf dem Schlauch

Mal ein anderes Beispiel:
f(x) = -3 * (3x +4)^-2
daraus folgt die Stammfunktion
F(x) = -3 * 1/3 * 1/-1 (3x +4) ^-1
F(x) = 1 / (3x +4)

das ist  mir noch klar aber wie gehe ich mit dem ganzen um wenn ich
a) vor meiner Klammer noch ein x ist?
b) in der klammer ein [mm] x^2 [/mm] ist?

Ich will doch die Stammfunktion von f(x) = 6x / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 3)^2 [/mm] wissen?
dazu mach ich doch folgende Schritte:

1. Nenner "hoch holen" also f(x) = 6x  [mm] (x^2 [/mm] + 3)^-2
2. F(x) = 6x * (-1) [mm] (x^2 [/mm] + 3)^-1
3. F(x) = -6x / [mm] (x^2 [/mm] +3)
4. F(x) = falsche Lösung da ergebnis [mm] x^2 [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] + 3) lautet
5. ich bin verzweifelt wie muß ich des rechnen?






Bezug
                                        
Bezug
Stammfunktion Gebrochenration.: Vorgehensweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Do 15.02.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Mike!



> Mal ein anderes Beispiel:
> f(x) = -3 * (3x +4)^-2
> daraus folgt die Stammfunktion
> F(x) = -3 * 1/3 * 1/-1 (3x +4) ^-1
> F(x) = 1 / (3x +4)

[ok] Das stimmt so und kann man so rechnen. Allerdings gilt dies nur und auschließlich für lineare Verkettungen [mm] $(a*x+b)^n$ [/mm] (und natürlich für [mm] $n\not= [/mm] -1$ !).

  
> das ist  mir noch klar aber wie gehe ich mit dem ganzen um, wenn ich
> a) vor meiner Klammer noch ein x ist?
> b) in der klammer ein [mm]x^2[/mm] ist?

Das kann man so pauschal nicht sagen! Dafür gibt es diverse Intertionsmethoden wie z.B. MBpartielle Integration oder die oben angesprochene Substitution.

Hier greift nämlich wieder die alte Weisheit: "Ableiten ist Handwerk, Integrieren eine Kunst!"

Es erfordert nämlich einige Erfahrung und Übung, um auch sofort die richtige Integrationsmethode für eiune Funktion zu erkennen.

  
> Ich will doch die Stammfunktion von f(x) = 6x / [mm](x^2[/mm] + [mm]3)^2[/mm] wissen?
>  dazu mach ich doch folgende Schritte:
>  
> 1. Nenner "hoch holen" also f(x) = 6x  [mm](x^2[/mm] + 3)^-2
> 2. F(x) = 6x * (-1) [mm](x^2[/mm] + 3)^-1
> 3. F(x) = -6x / [mm](x^2[/mm] +3)
> 4. F(x) = falsche Lösung da ergebnis [mm]x^2[/mm] / [mm](x^2[/mm] + 3)
> lautet

[notok] Wie oben bereits gesagt und begründet: das geht so nicht!!


>  5. ich bin verzweifelt wie muß ich des rechnen?

"Substitution" heißt "Ersetzung".
Wir ersetzen hier also den Term [mm] $x^2+3$ [/mm] durch eine neue Variable $z_$ : [mm] $\green{z \ := \ x^2+3}$ [/mm] .


Nun müssen wir im Intetegral [mm] $\integral{\bruch{6x}{\left(x^2+3\right)^2} \ dx}$ [/mm] auch das Differential [mm] $d\red{x}$ [/mm] in die neue Variable [mm] $d\red{z}$ [/mm] umwandeln.

Dafür verwenden wir die Ableitung der neuen Variable $z_$ mit:

$z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ x^2+3 \ \right)' [/mm] \ = \ 2x$

Umgestellt nach $dx_$ erhalten wir:   [mm] $\blue{dx \ = \ \bruch{dz}{2x}}$ [/mm] .


Dies alles setzen wir nun ein in unser Integral:

[mm] $\integral{\bruch{6x}{\left(\green{x^2+3}\right)^2} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{6x}{\green{z}^2} \ \blue{\bruch{dz}{2x}}} [/mm] \ = \ ...$


Nun kürzen ...

$... \ = \ [mm] \integral{\bruch{3}{z^2} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] 3*\integral{z^{-2} \ dz} [/mm] \ = \ ...$


Jetzt kannst Du hier wie gewohnt nach der MBPotenzregel integrieren und anschließend wieder $z_$ durch [mm] $x^2+3$ [/mm] ersetzen.


In diesem speziellen Falle darfst Du Dich aber nicht wundern, dass nicht automatische Deine o.g. Funktion wieder herauskommt. Denn diese lässt sich auch umformen zu:

[mm] $\bruch{x^2}{x^2+3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2 \ \red{+3-3}}{x^2+3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+3}{x^2+3}+\bruch{-3}{x^2+3} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{3}{x^2+3}$ [/mm]

Von daher kommt bei der Stammfunktion nach o.g. Methode [mm] $-\bruch{3}{x^2+3}$ [/mm] heraus.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                
Bezug
Stammfunktion Gebrochenration.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 Do 15.02.2007
Autor: mike8080

Ok erstmal danke für die Erklärung!!
kommt sowas im Abi dran? da wär ich nie drauf gekommen und haben wir so auch nich ebesprochen.
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