Stammfunktion,Integralfunktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Do 04.11.2004 | | Autor: | bionda |
Ich habe ein großes Problem, denn ich weiß nicht wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll, mir fehlt schon allein der Ansatz...
Also:Wie untersuche ich, ob jede Stammfunktion zu 2x² eine Integralfunktion ist??
Bitte helft mir ....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo bionda,
> Also:Wie untersuche ich, ob jede Stammfunktion zu 2x² eine
> Integralfunktion ist??
[mm] $f(x):=2x^2$
[/mm]
Für eine Stammfunktion F muss gelten: F'=f.
Für eine Integralfunktion: Es existiert ein [mm] a\in\IR, [/mm] so dass [mm] $I_a(x):=\integral_a^x [/mm] f(x)dx$ gilt.
Ich berechne nun zunächst eine Stammfunktion zu f: [mm] $F(x)=\bruch{2}{3}x^3$.
[/mm]
Alle Stammfunktionen lassen sich dann durch Addition einer Konstante zu F(x) darstellen, ich schreibe das mal als [mm] $F_C(x)=\bruch{2}{3}x^3+C$.
[/mm]
Die eigentlich Frage ist nun also, ob man für [mm] F_C [/mm] ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] finden kann, so dass [mm] F_C(x)=I_a(x) [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt.
Dazu setze ich die beiden gleich und versuche, eine Aussage über a zu finden, so dass die Gleichheit erfüllt ist:
[mm] $F_C(x)=I_a(x)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{2}{3}x^3+C=\integral_a^x [/mm] f(x)dx$
[mm] $\gdw$ $\bruch{2}{3}x^3+C=F(x)-F(a)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{2}{3}x^3+C=\bruch{2}{3}x^3-\bruch{2}{3}a^3$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $C=-\bruch{2}{3}a^3$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $-\bruch{3}{2}*C=a^3$
[/mm]
Und, was kannst du daraus schließen? Könntest du für jedes C einen Wert für a angeben, dass die letzte Gleichung erfüllt ist?
VIele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 04.11.2004 | | Autor: | bionda |
Hallo Marc,
vielen Dank für die ausführliche ERklärung, das kann ich wunderbar nachvollziehen, super :))
So, ich denke schon, dass ich für jedes C einen Wert für a angeben kann, stimmt das????????
Kann ich dann daraus schlussfolgern, dass jede Stammfunktion zu 2x² eine Integralfunktion ist?!
Gruß und nochmals vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo bionda!
> vielen Dank für die ausführliche ERklärung, das kann ich
> wunderbar nachvollziehen, super :))
Das freut mich 
> So, ich denke schon, dass ich für jedes C einen Wert für a
> angeben kann, stimmt das????????
Das würde ich auch sagen, man kann das a ja direkt angeben: [mm] $a=\wurzel[3]{-\bruch{3}{2}C}$, [/mm] und die dritte Wurzel ist für alle reellen Radikanden definiert.
> Kann ich dann daraus schlussfolgern, dass jede
> Stammfunktion zu 2x² eine Integralfunktion ist?!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
In meinen Korrekturbemerkungen zu Johannes Artikel habe ich auch das Beispiel einer Funktion angegeben, deren Stammfunktionen nicht alle Integralfunktionen sind.
Viele Grüße,
Marc
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Hi
also die Lösung vom Marc ist ja sehr gut, aber sie ist vielleicht etwas kompliziert. Ich denke seiner Lösung hast du bereits entnommen, oder wusstest es vorher schon, was eine Stammfunktion ist. Das setzte ich einfach mal vorraus.
So jetzt ist ja die Frage, ob jede Stammfunktion sich als Integralfunktion eignet.
Wir haben das Integral
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx}
b
=[F(x)]
a
=F(b)-F(a)
soweit ist das klar oder?
jetzt ist doch nur die Frage, wodurch sich die Stammfunktionen denn unterscheiden?! Und sie unterscheiden sich doch nur durch eine Konstante c, denn die hebt sich beim Ableiten ja weg!!!
also was passiert wenn wir eine Funktion haben:
F(b)+c-(F(a)+c) ?????
Naaa?
Die Konstante hebt sich weg.
Insofern ist es vollkommen egal, welche Stammfunktion du nimmst, da sich die Konstante, die sie untereinander unterscheidet ja eh weghebt.
Ich hoffe ich konnte helfen
MfG Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Johannes,
eine Argumentation, die ganz ohne den Begriff Integralfunktion und ohne die konkrete Funktionsvorschrift auskommt -- wie kann das sein?
Deine Ausführungen scheitern am Gegenbeispiel f(x)=x. Dort ist nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion.
Viele Grüße,
Marc
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Hi
aha. äähm aber wieso ist bei f(x)=x nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion?
Eine wäre doch F1(x)=x²/2
Eine andere wäre F2(x)=x²-2 ein konkretes Beispiel ;)
[mm] \integral_{1}^{2} [/mm] {x dx}
2
=[x²/2]
1
=2²/2 - 1²/2=1,5
und das gleiche dann mit der anderen Stammfunktion:
[mm] \integral_{1}^{2} [/mm] {x dx}
2
=[x²/2 -2]
1
=2²/2 -2 - (1²/2 -2)=1,5 Oder nicht???
Gruß Johannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Johannes,
> aha. äähm aber wieso ist bei f(x)=x nicht jede
> Stammfunktion eine Integralfunktion?
> Eine wäre doch F1(x)=x²/2
> Eine andere wäre F2(x)=x²-2 ein konkretes Beispiel ;)
Das ist ja noch nicht einmal eine Stammfunktion?!
Aber wie ich unten sehe, meinst du [mm] $F_2=\bruch{x^2}{2}-2$
[/mm]
> [mm]\integral_{1}^{2}[/mm] {x dx}
>
> 2
> =[x²/2]
> 1
>
> =2²/2 - 1²/2=1,5
>
> und das gleiche dann mit der anderen Stammfunktion:
>
>
> [mm]\integral_{1}^{2}[/mm] {x dx}
>
> 2
> =[x²/2 -2]
> 1
>
> =2²/2 -2 - (1²/2 -2)=1,5 Oder nicht???
Was ist damit gezeigt?
Dies ist erneut eine Erklärung, die ohne die Verwendung einer Integralfunktion -- das kann nicht sein.
Mir scheint, du weißt gar nicht, was eine Integralfunktion ist.
Eine Integralfunktion [mm] $I_a$ [/mm] wird gebildet zu einem Integranden f(x) und ist definiert als
[mm] $I_a(x):=\integral_a^x [/mm] f(x) dx$
Wie man zeigen kann, jede Integralfunktion eine Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion.
Ein Beispiel dafür ist
f(x) und [mm] $F_3(x)=\bruch{x^2}{2}+2$
[/mm]
[mm] F_3 [/mm] ist offenbar eine Stammfunktion, aber:
Damit es nämlich eine Integralfunktion ist, müßte es ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] geben, so dass
[mm] $F_2(x)=I_a(x)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{x^2}{2}+2=\integral_a^x [/mm] x dx$
[mm] $\gdw$ $\bruch{x^2}{2}+2=F_2(x)-F_2(a)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{x^2}{2}+2=\bruch{x^2}{2}+2-\left(\bruch{a^2}{2}+2\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $0=-\bruch{a^2}{2}-2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $-2=\bruch{a^2}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $-4=a^2$
[/mm]
Hier sieht man jetzt, dass es kein solches a geben kann.
Viele Grüße,
Marc
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Ahhhhsö danke ich dachte bisher, eine Integralfunktion sei einfach nur eine Stammfunktion F zur Integrandenfunktion f. Ok alles klar dankeschön
MfG Johannes
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