Stammfunktion bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mi 18.03.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen sie vom folgendem unbestimmten Integral, die Stammfunktion:
[mm] \int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-x²}}\, [/mm] dx |
Hallo Zusammen,
ich weiß nun dass die Ableitung von ln x, (ln x)' = 1/x ergibt, somit wäre der erste Ansatz:
Stammfunktion: [mm] ln(\wurzel{1-x²})
[/mm]
Dies ergibt abgeleitet: [mm] [ln(\wurzel{1-x²})]' [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x²}} \cdot{} \bruch{1}{2} \cdot{} (1-x²)^{-\bruch{1}{2}} \cdot{} [/mm] (-2x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x²}} \cdot{} [/mm] - [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x²}} [/mm] = - [mm] \bruch{x}{1-x²}
[/mm]
Stimmt die Ableitung überhaupt?
Wie könnte man nun das Integral anpassen, damit nach der Kettenregel, das Selbe herauskommt?
Vielen Dank
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie vom folgendem unbestimmten Integral, die
> Stammfunktion:
>
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-x²}}\,[/mm] dx
> Hallo Zusammen,
>
> ich weiß nun dass die Ableitung von ln x, (ln x)' = 1/x
> ergibt, somit wäre der erste Ansatz:
>
> Stammfunktion: [mm]ln(\wurzel{1-x²})[/mm]
>
> Dies ergibt abgeleitet: [mm][ln(\wurzel{1-x²})]'[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x²}} \cdot{} \bruch{1}{2} \cdot{} (1-x²)^{-\bruch{1}{2}} \cdot{}[/mm]
> (-2x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x²}} \cdot{}[/mm] -
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-x²}}[/mm] = - [mm]\bruch{x}{1-x²}[/mm]
>
> Stimmt die Ableitung überhaupt?
Ja, aber das nützt Dir nichts
Substituiere $x = sin(t)$
FRED
>
> Wie könnte man nun das Integral anpassen, damit nach der
> Kettenregel, das Selbe herauskommt?
>
> Vielen Dank
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 18.03.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
wie kommt man denn auf die Substitution x = sin(t) ?
Wenn ich dies einsetze:
$ [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\, [/mm] $ dx
Nur wie erkenne ich nun, was die außere bzw. innere Funktion des Integral ist, damit ich die Substitutionsregel anwenden kann?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> wie kommt man denn auf die Substitution x = sin(t) ?
>
> Wenn ich dies einsetze:
>
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] dx
Es ist $dx =cos(t)dt$. Also erhälst Du
[mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] cos(t)dt = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{cost}{|cost|} dt}
[/mm]
FRED
>
> Nur wie erkenne ich nun, was die außere bzw. innere
> Funktion des Integral ist, damit ich die Substitutionsregel
> anwenden kann?
>
> Gruß
> itse
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Do 19.03.2009 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
> > Hallo,
> >
> >
Wie kommt man denn auf die Substitution x = sin(t) ?
> > Wenn ich dies einsetze:
> >
> > [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] dx
>
>
> Es ist [mm]dx =cos(t)dt[/mm]. Also erhälst Du
>
> [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] cos(t)dt =
Mit der Formel sin²(t)+cos²(t) = 1, kommt man auf dies
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cost}{|cost|} dt}[/mm]
Nur wie geht es nun weiter?
Ich muss dies ja soweit umformen bzw. anpassen, damit ich sehe, welche abgeleitete Stammfunktion wieder das unbestimmte Integral ergibt.
Grüße
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,
>
> > > Hallo,
> > >
> > >
> Wie kommt man denn auf die Substitution x = sin(t) ?
Wegen $ 1-sin^2t = cos^2t$
>
> > > Wenn ich dies einsetze:
> > >
> > > [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] dx
> >
> >
> > Es ist [mm]dx =cos(t)dt[/mm]. Also erhälst Du
> >
> > [mm]\int_{}^{} \bruch{1}{\wurzel{1-sin²(t)}}\,[/mm] cos(t)dt =
>
> Mit der Formel sin²(t)+cos²(t) = 1, kommt man auf dies
>
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{cost}{|cost|} dt}[/mm]
>
> Nur wie geht es nun weiter?
Eine Stammfunktion suchst Du immer auf eunem Intervall I
Ist nun I so, dass $cost > 0 $ auf I, dann ist
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{cost}{|cost|} dt}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{1 dt}[/mm] =$t+c = arcsin(x)+c$
FRED
>
> Ich muss dies ja soweit umformen bzw. anpassen, damit ich
> sehe, welche abgeleitete Stammfunktion wieder das
> unbestimmte Integral ergibt.
>
> Grüße
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Do 19.03.2009 | | Autor: | itse |
Vielen Dank für die Antwort. Ich wollte nun im Gegenzug die Stammfunktion differenzieren, somit müsste das Ingetral herauskommen. Der erste Schritt war:
[mm] [\bruch{1}{sin x} [/mm] +c ]' = [mm] \bruch{-cosx}{sin²x}
[/mm]
Nun kann wieder die Formeln nach dem Einheitskreis: sin²x+cos²x = 1 zum Einsatz kommen:
= [mm] \bruch{-\wurzel{1-sin²x}}{sin²x}
[/mm]
Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter. Hilft einem vielleicht die vorher bestimmte Substitution weiter?
Danke
itse
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> Vielen Dank für die Antwort. Ich wollte nun im Gegenzug die
> Stammfunktion differenzieren, somit müsste das Ingetral
> herauskommen. Der erste Schritt war:
>
> [mm][\bruch{1}{sin x}[/mm] +c ]' =
Hallo,
hier liegt ein riesengroßes Fehlverständnis vor:
der arkussinus ist die Umkehrfunktion des sinus, nicht etwa der Kehrwert.
Gruß v. Angela
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