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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 So 30.08.2009 | | Autor: | ingelore |
Hallo ihr Lieben,
ich habe beim Üben eine Tabelle mit Stammfunktionen im Internet gefunden und versuche diese gerade nachzurechnen, habe aber Probleme auf das dort angegebene Ergebnis zu kommen. Wenn mir jemand die Zwischenschritte angeben könnte, wäre ich sehr dankbar!
1. Aufgabe: [mm] Integral(x/(x^2+1)^3 [/mm] )
das Soll-Ergebnis: - 1 / 4(x2 + 1)2
2. Aufgabe: Integral((x + 2) / (x + 1)3)
das Soll-Ergebnis: - (x + 2)2 / 2(x + 1)2
3. Aufgabe: INtegral(2x / (x2+ 1)3)
das Soll-Ergebnis: - 1 / 2(x2 + 1)2
Oh und wenn ich mich hier schon blamiere, dann auch richtig. Evt noch die Zwischenschritte zu
Integral von (2x + 1) / (x2 + x + 1) soll sein ln (x2 + x + 1).
Oder ist das einfach stumpf die Regel, dass der Logarithmus vom Nenner genommen wird?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 So 30.08.2009 | | Autor: | Smex |
> Oh und wenn ich mich hier schon blamiere, dann auch
> richtig. Evt noch die Zwischenschritte zu
> Integral von (2x + 1) / (x2 + x + 1) soll sein ln (x2 + x
> + 1).
> Oder ist das einfach stumpf die Regel, dass der Logarithmus
> vom Nenner genommen wird?
Entweder das, oder du substituierst einfach den Nenner, da du ihn dann ja ableiten musst und durch die Ableitung teilst kannst du den kompletten Zähler kürzen. Damit ergibt sich
[mm] \integral_{}^{}{1/z dz} [/mm] = ln(z)
dann rücksubstitution und du erhälst genau das gewünschte Ergebnis...
Achso, ich hab die Antwort jetzt mal als fehlerhaft gekennzeichnet, denn ich hab ja nur eine der Fragen beantwortet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 30.08.2009 | | Autor: | itil |
Hallo,
ich bin auch gerade dabei das integrieren zu üben.. aber auf dein erg. komme ich nicht.
im grunde gibts nur eines zu befolgen:
aus x wird x2/2 -> also aus einer varibale wird variable^(n+1)/(n+1)
wichtig zu beachten potenzregeln und so zeug
mien lösungsweg:
[mm] \integral (\bruch{x}{x^2+1})^3 [/mm] *dx
[mm] \integral (x*(x^2-1))^3
[/mm]
[mm] \integral [/mm] (x^-1 - [mm] x)^3 [/mm]
[mm] \inetral (x^2 [/mm] -3x *-x +3x [mm] -x^3)
[/mm]
[mm] \integral (x^2 +3x^2 [/mm] +3x [mm] -x^3)
[/mm]
=
[mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3x^3}{3} [/mm] - [mm] \bruch{3x^2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{x^4}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12}*(6x^2+12x^3-18x^2-4x^3)
[/mm]
.. aber naja auf dein ergebnis komme ich leider nicht ganz..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 So 30.08.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo itil,
das Ganze ist schon etwas komplizierter und Deine Regel gilt nur für Ausdrücke mit Potenzen, bei einem Bruch kannst Du da schon komplett daneben liegen. Deine Umformungen sind ab der zweiten Zeile nicht mehr nachzuvollziehen und das Ergebnis stimmt überhaupt nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 30.08.2009 | | Autor: | ingelore |
Aber Infinit, wie sieht dann die richtige Lösung aus? !
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> 1. Aufgabe: [mm] Integral(x/(x^2+1)^3 [/mm] )
> das Soll-Ergebnis: - 1 / 4(x2 + 1)2
> 2. Aufgabe: Integral((x + 2) / (x + 1)3)
> das Soll-Ergebnis: - (x + 2)2 / 2(x + 1)2
soll das [mm] \frac{x+2}{(x+1)^3} [/mm] heissen?
> 3. Aufgabe: INtegral(2x / (x2+ 1)3)
> das Soll-Ergebnis: - 1 / 2(x2 + 1)2
zur 1. aufgabe: substituiere hier [mm] z=x^2+1 [/mm] dann kommst du in 1-2 zwischenschritten zur lösung
3. aufgabe wird wie die erste angegangen, ist sogar noch leichter!
mfg tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 31.08.2009 | | Autor: | ingelore |
Mh, ich habe das mal gemacht aber komme nicht auf das Ergebnis.
Folgende Schritte:
Aufgabe: Integral(x/(x²+1)³)
Substitution z=x²+1
=> Integral(x/z³)
= [1/2*x² / z³]
= [1*x²/ 2z³ ] nun Rücksubstitution:
=> [x² / 2(x²+1)³ ]
arghhh.. wie geht denn das x von da oben weg??
Bei den anderen komm ich auch einfach nicht weiter. Ich verbeiß mich dann auch so. Bin zu dem Schluss gekommen, der Typ, der die Aufgabe und Lösung gestellt hat hat nen Fehler gemacht. :P ne, kann ja nciht sein. Ich brauche wirklich die Zwischenschritte von jemandem von euch, damit ich das mal nachvollziehen kann..bitte bitte.. : )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ingelore!
Es ist bei Integralen mit Subsitution immer wichtig, dass man das alte Differential [mm] $d\red{x}$ [/mm] auch in die neue Variable [mm] $d\red{z}$ [/mm] umwandelt.
Es gilt:
$$z \ := \ [mm] x^2+1$$
[/mm]
$$z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ 2x \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{2*x}$$
[/mm]
Damit wird:
[mm] $$\integral{\bruch{x}{\left(\red{x^2+1}\right)^3} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{x}{\left(\red{z}\right)^3} \ \blue{\bruch{dz}{2*x}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{z^{-3} \ dz} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Di 01.09.2009 | | Autor: | ingelore |
zack, kapiert :)
Vielen Dank Loddar!
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Hallo itil,
> Hallo,
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> ich bin auch gerade dabei das integrieren zu üben..
> aber auf dein erg. komme ich nicht.
>
> im grunde gibts nur eines zu befolgen:
>
> aus x wird x2/2 -> also aus einer varibale wird
> variable^(n+1)/(n+1)
> wichtig zu beachten potenzregeln und so zeug
>
> mien lösungsweg:
>
> [mm]\integral (\bruch{x}{x^2+1})^3[/mm] *dx
>
> [mm]\integral (x*(x^2-1))^3[/mm]
>
> [mm]\integral[/mm] (x^-1 - [mm]x)^3[/mm]
>
> [mm]\inetral (x^2[/mm] -3x *-x +3x [mm]-x^3)[/mm]
>
> [mm]\integral (x^2 +3x^2[/mm] +3x [mm]-x^3)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{x^2}{2}+\bruch{3x^3}{3}-\bruch{3x^2}{2}-\bruch{x^4}{4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{12}*(6x^2+12x^3-18x^2-4x^3)[/mm]
>
>
> .. aber naja auf dein ergebnis komme ich leider nicht ganz..
Naja, kein Wunder, denn bei diesem 'Lösungsweg'
ist praktisch jeder einzelne Schritt falsch.
LG
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> Hallo ihr Lieben,
>
> ich habe beim Üben eine Tabelle mit Stammfunktionen im
> Internet gefunden und versuche diese gerade nachzurechnen,
> habe aber Probleme auf das dort angegebene Ergebnis zu
> kommen. Wenn mir jemand die Zwischenschritte angeben
> könnte, wäre ich sehr dankbar!
> 1. Aufgabe: [mm]Integral(x/(x^2+1)^3[/mm] )
> das Soll-Ergebnis: - 1 / 4(x2 + 1)2
> 2. Aufgabe: Integral((x + 2) / (x + 1)3)
> das Soll-Ergebnis: - (x + 2)2 / 2(x +
> 1)2
> 3. Aufgabe: INtegral(2x / (x2+ 1)3)
> das Soll-Ergebnis: - 1 / 2(x2 + 1)2
> Oh und wenn ich mich hier schon blamiere, dann auch
> richtig. Evt noch die Zwischenschritte zu
> Integral von (2x + 1) / (x2 + x + 1) soll sein ln (x2 + x
> + 1).
hier liegt ein integral der form:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}}=ln|f(x)|+c
[/mm]
vor
> Oder ist das einfach stumpf die Regel, dass der Logarithmus
> vom Nenner genommen wird?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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