Stammfunktion (log(x))^3 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Stammfunktion:
[mm] \integral_{}^{}{(log(x))^{3} dx} [/mm] |
Hallo,
[mm] \integral_{}^{}{(log(x))^{3} dx}
[/mm]
Hierzu soll ich die Stammfunktion finden.
Eine Stammfunktion zu [mm] \integral_{}^{}{(log(x)) dx} [/mm] ist ja kein Problem.
Partielle Integration und fertig.
Aber wie mache ich das mit [mm] (log(x))^{3} [/mm] ?
Ich habe mich schon an einer Substitution z = log (x) versucht,
dies ging aber nicht wirklich.
Wie kann ich anders an die Aufgabe heran gehen?
Gruß
Albert
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Hallo,
du solltest eine mehrfache partielle Integration in Erwägung ziehen. Anfang etwa so:
[mm]\integral{(ln(x))^3 dx}=\integral{ln(x)*(ln(x))^2 dx}[/mm]
Ich habe es so hinbekommen, kann aber keine Garantie abgeben, ob es nicht doch einen einfacheren Weg gibt.
Gruß, Diophant
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danke.
ich werde es mal so versuchen !
hast du dann f'(x) = ln(x)
und g(x) = [mm] (ln(x))^{2},
[/mm]
sodass du bei der partiellen integration ln(x) integrieren musst und ln(x) differnezieren ? weil dann hast du das selbe problem ja bei [mm] ln(x)^{2}, [/mm] da es dazu ebenfalls keine stammfunktion gibt?
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Hallo,
> hast du dann f'(x) = ln(x)
> und g(x) = [mm](ln(x))^{2},[/mm]
genau so habe ich es gemacht.
> weil dann hast du das
> selbe problem ja bei [mm]ln(x)^{2},[/mm] da es dazu ebenfalls keine
> stammfunktion gibt?
Darum sprach ich ja von mehrfacher partieller Integration. Der erste Schritt sieht bei mir so aus:
[mm]\integral{(ln(x))^3 dx}
=\integral{(ln(x)*(ln(x))^2 dx}
=x*(ln(x)-1)*(ln(x))^2-\integral{(ln(x)-1)*2*ln(x) dx}
=...
[/mm]
Und da eben (nach dem Ausmultiplizieren und Auftrennen in zwei Integrale) das gleiche nochmal.
Gruß, Diophant
PS:
Ich bin von der Annahme ausgegangen, dass mit log der natürliche Logarithmus gemeint ist (weil dies heutzutage allgemein üblich ist).
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> Darum sprach ich ja von mehrfacher partieller Integration.
> Der erste Schritt sieht bei mir so aus:
>
> [mm]\integral{(ln(x))^3 dx}
=\integral{(ln(x)*(ln(x))^2 dx}
=x*(ln(x)-1)*(ln(x))^2-\integral{(ln(x)-1)*2*ln(x) dx}
=...
[/mm]
ln(x) [mm] \not= [/mm] log(x) !!!
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ich auch keine sorge ;) aber es könnte eventuell zusätzliche verwirrung auftreten.
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haha ja das ist ein bisschen mühsam zum rechnen :)
aber fang am besten so an:
[mm] f=log^3(x) [/mm] dg=dx
[mm] df=((3log^2(x))/x)dx [/mm] , g=x
--> [mm] =xlog^3(x)-3xlog^2(x)+6\integral [/mm] {log(x)dyx}
.
.
.
so mach du das dann noch 2 mal auf ähnliche weise und bekommst ein feines ergebnis ;)
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und wenn du echt auf keinen grünen zweig findest schick ich dir die rechenschritte zum nachvollziehen ;) (würd dir aber empfehlen es selbst zu probieren)
lg
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> [mm]f=log^3(x)[/mm] dg=dx
bis hierhin komme ich noch mit, wobei ich nicht weiß was dg sein soll ?
> [mm]df=((3log^2(x))/x)dx[/mm] , g=x
was hast du dann hier gemacht ?
>
> --> [mm]=xlog^3(x)-3xlog^2(x)+6\integral[/mm] {log(x)dyx}
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>
> > [mm]f=log^3(x)[/mm] dg=dx
>
> bis hierhin komme ich noch mit, wobei ich nicht weiß was
> dg sein soll ?
zwischen [mm]f=log^3(x)[/mm] und dg=dx sollte eigentlich ein Beistrich stehen ;)
> > [mm]df=((3log^2(x))/x)dx[/mm] , g=x
>
> was hast du dann hier gemacht ?
>
> >
> > --> [mm]=xlog^3(x)-3xlog^2(x)+6\integral[/mm] {log(x)dyx}
>
kleinen hinweis vergessen: [mm] \integral [/mm] fdg = fg- [mm] \integral [/mm] gdf
ich hoffe du hast schon mal partiell integriert ^^ - genau das hab ich getan ;) jedoch nur den 1. schritt von 3 .
weiter gehts mir [mm] f=log^2(x) [/mm] im 2. schritt
und dann kommt schon f=log(x)
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habe jedoch mit dem natürlichen logarithmus gearbeitet ..
wenn du das ganze mit dem 10er logarithmus machen musst funktionierts bisschen anders .. aber auch nur die letzten 2 schritte
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> >
> > > [mm]f=log^3(x)[/mm] dg=dx
> >
> > bis hierhin komme ich noch mit, wobei ich nicht weiß was
> > dg sein soll ?
>
> zwischen [mm]f=log^3(x)[/mm] und dg=dx sollte eigentlich ein
> Beistrich stehen ;)
>
> > > [mm]df=((3log^2(x))/x)dx[/mm] , g=x
> >
das hier ist einfach [mm] log^{3}(x) [/mm] abgeleitet.
> >
> > >
> > > --> [mm]=xlog^3(x)-3xlog^2(x)+6\integral[/mm] {log(x)dyx}
> >
aber dashier bleibt mir leider immernoch etwas schleierhaft :(
ist das
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}*3(logx)^{2} dx} [/mm] und das dann partiell integriert ?
und wenn ja, warum steht da log(x) dyx ?
Danke
/edit: es handelt sich überall um LN (X) !!!
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ok wenn du ln meinst dann schreib bitte ln ;) habs angenommen weil es kaum üblich ist mit nem 10er log zu rechnen.
>das hier ist einfach $ [mm] log^{3}(x) [/mm] $ abgeleitet.
genau
> $ [mm] =xlog^3(x)-3xlog^2(x)+6\integral [/mm] $ {log(x)dyx}
in die formel [mm] \integral [/mm] fdg = fg - [mm] \integral [/mm] fdf
> log(x) dyx ?
sorry vertippt .. heißt eigentlich log(x) dx
bzw sind alle log eigentlich ln ;)
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>
> > [mm]=xlog^3(x)-3xlog^2(x)+6\integral[/mm] {log(x)dyx}
>
>
> sorry vertippt .. heißt eigentlich log(x) dx
>
wenn ich das mal so nehme steht da:
[mm] xlog^3(x)-3xlog^2(x)+6\integral{log(x)dx} [/mm]
und da die stammfunktion von logx = x lox x - x ist,
müsst da ja stehen:
[mm] xlog^3(x)-3xlog^2(x)+6*(x [/mm] log x - x)
= [mm] xlog^3(x)-3xlog^2(x)+6x [/mm] log x - 6x
stimmt das?
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Hallo,
dein Ergebnis stimmt jetzt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Mi 11.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo,
hier zum Vergleich die Lösung des ![[]](/images/popup.gif) Wolfram Integrators.
Glückwunsch! Arbeitsintensive Aufgabe, das...
Grüße
reverend
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Danke. :)
Und das um diese Uhrzeit !
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in wolframalpha kann man auch einzelne rechenschritte anzeigen damit du's auch wirklich nachvollziehen kannst ;)
[mm] http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28ln%28x%29%29^3
[/mm]
einfach show steps anklicken
(benutze mathematica deshalb hab ich dir auch nicht jeden rechenschritt geschickt)
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hat vielleicht nicht mehr viel mit der Aufgabe zu tun,
trotzdem würde mich eine Sache noch interessieren,
um das Thema besser zu verstehen.
Wieso ging die ganze Aufgabe mit der Substitution z = lnx schief ?
dann stünde da [mm] z^{3}.
[/mm]
Wieso darf man das nicht, bzw. wann darf man diese Substitutionsregel anwenden ?
Danke !
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Hallo,
du solltest bedenken, dass man bei der Integration durch Substitution immer auch das Differenzial substituieren muss. Also
[mm] z=ln(x)^3 [/mm] => [mm] dz/dx=3*ln(x)^2*1/x [/mm] <=> [mm] dx=\frac{x*dz}{3*ln(x)^2}
[/mm]
Das macht die Sache also auch nicht wirklich besser, 
Gruß, Diophant
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ich wollte eig so substituieren:
z = log x
dx = x , da dz/dx = 1/x
dann steht da: [mm] \integral_{}^{}{z^{3} x*dz}
[/mm]
und das wäre [mm] x*\integral_{}^{}{z^{3} dz}
[/mm]
jetzt habe ich das richtige ergebnis ja, war nur reines interesse.
Aber danke !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ok, sorry: hab ich mich verlesen. Zeit, um Feierabend zu machen. 
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal,
> ich wollte eig so substituieren:
>
> z = log x
> dx = x , da dz/dx = 1/x
Na, na. Hier rechnet man doch, als wären dz und dx gewöhnliche Variablen. Also: x*dz=dx
> dann steht da: [mm]\integral_{}^{}{z^{3} x*dz}[/mm]
So ist es.
> und das wäre
> [mm]x*\integral_{}^{}{z^{3} dz}[/mm]
Oh nein! Das gilt nur, wenn x unabhängig von z ist. Das ist hier aber nicht der Fall, im Gegenteil: x=x(z), genauer: [mm] x=e^z
[/mm]
Du hättest also zu lösen: [mm] \int{e^z z^3\ dz}
[/mm]
> jetzt habe ich das richtige ergebnis ja, war nur reines
> interesse.
> Aber danke !
Grüße
reverend
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ach herje...
vielen danke. dann ist das auch mal geklärt.
schnell weg damit :D
schönen feierabend und danke ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Do 12.05.2011 | | Autor: | reverend |
Och, auch [mm] \int{e^z z^3\ dz} [/mm] kann man lösen. Mit dreimaliger partieller Integration nämlich. Und wenn man zum Schluss resubstituiert, kommt genau das gleiche raus.
Gute Nacht,
reverend
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