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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:15 So 18.09.2005 | | Autor: | nizzy |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gesucht ist die Stammfunktion dieser rationalen Funktion:
f(x)= [mm] \bruch{2x^4+3x^3+16x^2+28x-19}{x^3-x^2+9x-9}
[/mm]
das Ergebnis ist mir bekannt komme aber selbst auf ein falsches.
vielleicht könnte jmd eine schritt für schritt lösung posten damit ich meinen Fehler suchen kann.
vielen dank
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Hallo!
> gesucht ist die Stammfunktion dieser rationalen Funktion:
>
> f(x)= [mm]\bruch{2x^4+3x^3+16x^2+28x-19}{x^3-x^2+9x-9}[/mm]
>
> das Ergebnis ist mir bekannt komme aber selbst auf ein
> falsches.
>
> vielleicht könnte jmd eine schritt für schritt lösung
> posten damit ich meinen Fehler suchen kann.
Also, als erstes machst du eine Polynomdivision - schaffst du das noch? Dann poste doch mal dein Ergebnis. Dann kannst du schon zwei Summanden integrieren, für den letzten benötigst du dann eine Partialbruchzerlegung. Vielleicht zeigst du mal den Anfang deiner Rechnungen, damit wir den Fehler suchen können?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 So 18.09.2005 | | Autor: | nizzy |
ja ich poste mal meine schritte:
zunächst polynomdiv.
ergibt:
2x+5+ [mm] \bruch{3x^2-9x+24}{x^3-x^2+9x-9}
[/mm]
1. Nullstelle durch raten [mm] x_{1}=1
[/mm]
2. + 3. Nullstelle durch Hornerschema: [mm] x_{2/3}= \pm [/mm] 3j
dann habe ich:
[mm] \bruch{a(x-3j)(x+3j)+b(x-1)(x+3j)(x+3j)+c(x-1)(x-3j)}{(x-1)(x-3j)(x+3j)}
[/mm]
weiter komm ich leider nich
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Hallo nizzy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ja ich poste mal meine schritte:
>
> zunächst polynomdiv.
> ergibt:
>
> 2x+5+ [mm]\bruch{3x^2-9x+24}{x^3-x^2+9x-9}[/mm]
>
> 1. Nullstelle durch raten [mm]x_{1}=1[/mm]
> 2. + 3. Nullstelle durch Hornerschema: [mm]x_{2/3}= \pm[/mm] 3j
>
> dann habe ich:
>
>
> [mm]\bruch{a(x-3j)(x+3j)+b(x-1)(x+3j)(x+3j)+c(x-1)(x-3j)}{(x-1)(x-3j)(x+3j)}[/mm]
>
> weiter komm ich leider nich
>
zerlege den Bruch wie folgt:
[mm]\frac{{3\;x^2 \; - \;9\;x\; + \;24}}
{{x^3 \; - \;x^2 \; + \;9\;x\; - \;9}}\; = \;\frac{A}
{{x\; - \;1}}\; + \;\frac{{B\;x\; + \;C}}
{{x^2 \; + \;9}}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 18.09.2005 | | Autor: | nizzy |
vielen dank für die antwort aber ich komme trotz der neuen Zerlegung nicht weiter.
wie sind denn nun die Nullstellen und warum ist auf dem zweiten bruch ein x im zähler?
und wie mache ich dann weiter bis zur stammfunktion? :/
danke
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Hallo nizzy,
> vielen dank für die antwort aber ich komme trotz der neuen
> Zerlegung nicht weiter.
>
> wie sind denn nun die Nullstellen und warum ist auf dem
> zweiten bruch ein x im zähler?
Der Nenner des zweiten Bruches hat, wie Du schon errechnet hast komplexe Nullstellen, darum im Nenner der quadratische Ausdruck.
Da es sich um einen echten Bruch, kann im Nenner höchstens ein Polynom vom Grad 1 stehen.
>
> und wie mache ich dann weiter bis zur stammfunktion? :/
Zunächst musst Du mal die Unbekannten A, B, C ermitteln. Dies erreichst Du in dem Du mit dem Hauptnenner durchmultiplizierst. Durch Vergleich der Koeffizienten links und rechts vor den [mm]x^{i}[/mm] erhältst Du ein Gleichungssystem, woraus sich die Unbekannten ergeben.
Danach kannst Du integrieren.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 19.09.2005 | | Autor: | nizzy |
ich habe nun folgendes:
3x²-9x+24 = x²(a+b)+x(c-b)+9a-c
daraus folger ich:
a+b = 3
c-b = -9
9a-c = 24
und bekomme:
a = [mm] \bruch{9}{5}
[/mm]
b = [mm] \bruch{6}{5}
[/mm]
c = [mm] \bruch{-39}{5}
[/mm]
damit bekomme ich leider auch nicht das gesucht ergebnis:
[mm] x^{2}+5x+\bruch{1}{3}\arctan\bruch{x}{3}+3\ln|x-1|+C
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Deine Polynomdivision stimmt schon nicht. Richtig muss es heißen:
[mm] $\frac{2x^4+3x^3+16x^2+28x-19}{x^3-x^2+9x-9} [/mm] = 2x+5 + [mm] \frac{3x^2+x+26}{x^3-x^2+9x-9}$.
[/mm]
Eine dann anschließende Partialbruchzerlegung ergibt:
[mm] $\frac{2x^4+3x^3+16x^2+28x-19}{x^3-x^2+9x-9} [/mm] =2x+5 + [mm] \frac{1}{9+x^2} [/mm] + [mm] \frac{3}{x-1} [/mm] = 2x+5 + [mm] \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{3} \right)^2} [/mm] + [mm] 3\cdot \frac{1}{x-1}$.
[/mm]
Eine Integration dieses Ausdrucks liefernt die allgemeine Stammfunktion
[mm] $x^2+5x [/mm] + [mm] \frac{1}{3} \arctan\left( 1 + \frac{x}{3} \right) [/mm] + 3 [mm] \ln [/mm] |x-1| + C$.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mo 19.09.2005 | | Autor: | nizzy |
ahhh vielen dank das hat mir weitergeholfen ;)
gruß
nizzy
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