Stammfunktion x^2 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie die Stammfunktion von [mm] x^2
[/mm]
mittels Approximation des Integrals durch Trep-
penfunktionen. |
Ok, ich kann ja die Flaeche unter der Parabel in Rechtecke aufteilen, aber wo sind denn z.B. die Grenzen. Ich habe irgendwie keinen Ansatz, hat jemand nen Tip?
|
|
| |
|
Hallo royalbuds,
du kannst das theoretisch in mehreren Stufen machen:
1. Stufe: Du nimmst dir zwei Grenzen, z.B. 0 und 3 und teilst das erst in wenige, dann in immer mehr Rechtecke ein und nimmst dann "unendlich" viele Rechtecke.
2. Stufe: Du nimmst die 0 als untere Grenze und ein b als obere und machst das genauso (wenn du das in 1. geschickt aufschreibst, musst du praktisch nur die 3 durch das b ersetzen)
3. Stufe: Jetzt nimmst du als untere Grenze ein a, als obere ein x und erhältst so die Integralfunktion (ich glaube, das nennt man so) und die ist eng verwandt mit "der" Stammfunktion.
Natürlich kannst du auch direkt mit der 3. Stufe loslegen.
Gruß,
weightgainer
|
|
|
| |
|
Hi,
ich hab dann mal so angefangen:
ich hab das die Grenzen 0 und 3 genommen und in drei gleich große Teile unterteilt. Dann immer die untere Grenze der Teilstuecke mal der Laenge genommmen; damit ich halt die Flaecht bekomme. Also so $f(0) * (1-0) + f(1) * (2-1) + f(2) * (3-2) + f(3) * (4-3)$
Dann habe ich die Anzahl der Rechtecke verdoppelt, also das [mm] $\Delta [/mm] x$ halbiert: [mm] $0^2 [/mm] * 0,5 + [mm] 0,5^2 [/mm] * 0,5 + [mm] 1^2 [/mm] * 0,5 ...$
Das koennte ich ja als Summe so irgendwie schreiben: [mm] \summe_{i=1}^{6}f(i+\Delta x)*\frac{1}{6} [/mm] = [mm] \frac{1}{6}\summe_{i=1}^{6}f(i+\Delta [/mm] x) = [mm] \frac{1}{6}\summe_{i=1}^{6}(i+\Delta x)^2
[/mm]
Nun weis ich aber nicht wie ich das durch die Grenzen schreiben koennte, oder hab ich hier schon nen Fehler drin?
|
|
|
| |
|
Die Ideen stimmen, ich würde es ein wenig anders formulieren, denn letztlich machst du ja eine Näherung und am Ende solltest du ein Ergebnis bekommen, bei dem du irgendeinen "Grenzwertprozess" machen kannst.
Hier ein möglicher Vorschlag:
Du teilst also den Bereich von 0 bis 3 in n gleich lange Intervalle auf - dann hat jedes die Breite [mm] \bruch{3}{n}. [/mm] Die Höhe hängt an der Funktion (wie das bei dir ja auch steht). Jetzt kannst du natürlich die Rechtecke nehmen, die oberhalb des Graphen liegen oder die unterhalb des Graphen (Fachbegriffe: Obersumme, Untersumme). Ich mache das jetzt einfach mal für die Obersumme:
Die Höhe des ersten Rechtecks ist gerade der Funktionswert bei [mm] \bruch{3}{n}, [/mm] die des zweiten der Funktionswert bei [mm]2*[/mm][mm] \bruch{3}{n} [/mm] usw. Insgesamt hast du ja n Rechtecke, und du bekommst als Summe der Flächeninhalte:
[mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{3}{n}*(i*\bruch{3}{n})^{2}[/mm]
=[mm](\bruch{3}{n})^{3}*\summe_{i=1}^{n}i^{2}[/mm] (herausziehen der konstanten Faktoren aus der Summe)
=[mm](\bruch{3}{n})^{3}*\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm] (Summenformel für die Quadratzahlen)
= ...
= ... (ein paar geschickte Umformungen - vielleicht hast du schon Folgen auf Grenzwerte untersucht und weißt, worauf es hinausläuft)
Als Ergebnis bekommst du einen Ausdruck, bei dem du n [mm] \to \infty [/mm] gehen lassen kannst und als Ergebnis 9 erhältst. Das entspricht also in etwa deinen ersten Schritten, ist nur schon auf n Abschnitte verallgemeinert.
Und wenn du jetzt statt der Grenze 3 die Grenze x einsetzt, wirst du sicher auch zu einem guten Ergebnis kommen  .
Gruß,
weightgainer
|
|
|
|
