Stammfunktion zu ln(x)² < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Sa 03.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Hallo zusammen,
ich muss hier bei einer Aufgabenstellung den Flächeninhalt berechnen, aber ich mach wohl bei der Stammfunktionbildung was falsch, denn ich komme nicht auf das richtige Ergebnis.
Eigentlich gehts nur um den einen Teil der Summe: (ln(x))²
ich hab die Stammfunktion so gebildet: [mm] F(x)=\bruch{1}{3}*(ln(x))³*x
[/mm]
Liebe Grüße,
Kati
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Ich glaube, ihr sollt das nur mit dem Taschenrechner berechnen... Falls nicht, so solltest du partielle Integration anwenden:
[mm]\integral{\ln^{2}(x) dx}[/mm]
[mm]=\integral{\underbrace{1}_{u'}*\underbrace{\ln^{2}(x)}_{v} dx}[/mm]
[mm]= \underbrace{x}_{u}*\underbrace{\ln^{2}(x)}_{v} - \integral{\underbrace{x}_{u}*\underbrace{2*\ln(x)*\bruch{1}{x}}_{v'} dx}[/mm]
[mm]=x*\ln^{2}(x) - 2*\integral{1*\ln(x) dx}[/mm]
Integriere das zweite Integral nochmals mit 1 als noch zu integrierende Funktion und [mm] \ln(x) [/mm] als noch abzuleitende Funktion, dann erhältst du das Ergebnis!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 03.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Anders als mit Produktintegration geht es nicht?
Weil die Aufgabe zu der das gehört ist auf Seite 208 und die Produktintegration wird in dem Buch erst auf Seite 230 eingeführt
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Vielleicht funktioniert es mit dieser Substitution:
Probiere u = [mm] (\ln(x))^{2}.
[/mm]
Falls ihr allerdings auch das noch nicht hattet, würde ich sagen es geht nicht ohne weiteres.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Sa 03.05.2008 | | Autor: | kati93 |
das mit der Substitution geht glaub ich schlecht, weil das ja nur ein Teil der Funktion war. Insgesamt lautet die Funktion: ln(x)- (ln(x))²
ich hab jetzt aber nochmal ne Frage zu deiner Integration. Geht das denn so wie du das beschrieben hast? das 1=u und (ln(x))²=v'
ich hätte nämlich gedacht,dass u=ln(x) und v=ln(x)
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Du siehst doch oben, dass es geht!
Deine Idee zur Integration ist auch möglich, und führt auch zum Ziel. Allerdings muss man da gleich "die ganze Arbeit machen", und sogar zweimal den [mm] \ln(x) [/mm] integrieren:
[mm]\integral{\ln^{2}(x) dx}[/mm]
[mm]= \integral{\underbrace{\ln(x)}_{u'}*\underbrace{\ln(x)}_{v} dx}[/mm]
Nun musst du praktisch schon die Nebenrechnung machen, was das Integral vom [mm] \ln(x) [/mm] ist:
[mm]\integral{1*\ln(x) dx} = x*\ln(x) - x[/mm]
(ebenfalls mit partieller Integration berechnet)
[mm]= \underbrace{\left(x*\ln(x)-x\right)}_{u}*\underbrace{\ln(x)}_{v} - \integral{\underbrace{\left(x*\ln(x)-x\right)}_{u}*\underbrace{\bruch{1}{x}}_{v'} dx}[/mm]
[mm]= \underbrace{\left(x*\ln(x)-x\right)}_{u}*\underbrace{\ln(x)}_{v} - \integral{\ln(x) - 1 dx}[/mm]
Du siehst: In diesem Integral musst du nochmal die Stammfunktion von [mm] \ln(x) [/mm] bilden, dann bist du fertig.
Es gibt prinzipiell verschiedene Möglichkeiten, ein Integral zu lösen, und oft geht es auch auf verschiedene Wege. Wie du siehst, führen beide Wege zum Ziel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Sa 03.05.2008 | | Autor: | kati93 |
Ja, genau wie du eben so hab ichs versucht! Aber super,dass es auch schneller geht! vielen lieben Dank für den Tip!
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