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Hi,
ich suche Stammfunktionen für folgende beide Funktionen, da ich sie berechnen soll:
1) [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1+x}{x^2} dx}
[/mm]
2) [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1+x^{-\bruch{1}{2}}}{x^{\bruch{1}{2}}} dx}
[/mm]
bei Nummer 1 hatte ich folgendes versucht:
[mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1+x}{x^2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
Stammfunktion zu [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist ja lnx, nur finde ich jetzt keine Stammfunktion zu [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Bei Nummer 2 ist im Nenner ja die Wurzel von x. Da habe ich leider überhaupt keine Idee, wie ich rangehen soll.
Folgende Regeln sind mir bekannt:
[mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}=ln|f(x)| [/mm] + [mm] \IC
[/mm]
und
[mm] \integral{lnx dx}=x*lnx-x+\IC
[/mm]
ich denke es happert bei der anwendung dieser regeln. Kann mir jemand einen Tipp geben?
mfg, michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 So 21.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Stammfunktion zu [mm] x^r [/mm] ist immer [mm] 1/(r+1)*x^{r+1} [/mm] ausser fuer r=1. also [mm] 1/x^2= x^{-2} [/mm] r=-2
in deinem anderen Integral ebenso, den Bruch aufteilen und dann nach der Regel integrieren. hier hast du einmal r=-1/2 einmal r=1
Gruss leduart
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ok..
1) [mm] \left[-\bruch{1}{x}+lnx \right]^4_1
[/mm]
2) [mm] \integral_{1}^{4}{ \left(x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{x^{-\bruch{1}{2}}}{x^{\bruch{1}{2}}} \right)dx}
[/mm]
1. Summand ist dann klar, aber was mache ich mit dem 2.?
mfg, michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 21.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo michael
was gibt [mm] \bruch{x^a}{x^b} [/mm] das kannst du eigentlich!
Gruss leduart
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oje......hab ich ja ganz übersehen....
$ \integral_{1}^{4}{ \left(x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{x^{-\bruch{1}{2}}}{x^{\bruch{1}{2}}} \right)dx} $=$ \integral_{1}^{4}{ \left(x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{x}} \right)dx} $=\left[ \bruch{1}{2}x^{\bruch{1}{2}}+lnx \right]^4_1
mhh....aber irgendwie komme ich nicht auf das richtige Ergebniss....... :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 So 21.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Stammfunktionen sind jetzt richtig. Was soll denn falsch sein?
Gruss leduart
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naja,
ich bekomme immer 1,886 heraus
und mit diesem java-applet:
http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/oberuntersumme/oberuntersumme.html
bekommt man 3,39
ich habs jetzt schon mehrmals eingetippt und ich bekomme immer 1,886.....
komisch
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Hallo DjHighlife,
> naja,
>
> ich bekomme immer 1,886 heraus
>
> und mit diesem java-applet:
>
> http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/oberuntersumme/oberuntersumme.html
>
> bekommt man 3,39
>
> ich habs jetzt schon mehrmals eingetippt und ich bekomme
> immer 1,886.....
>
> komisch
Die Stammfunktion von [mm]x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ist [mm]2*x^{\bruch{1}{2}}[/mm]:
[mm]\integral_{1}^{4}{ \left(x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{x^{-\bruch{1}{2}}}{x^{\bruch{1}{2}}} \right)dx} = \integral_{1}^{4}{ \left(x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{x}} \right)dx} =\left[ \red{2}x^{\bruch{1}{2}}+lnx \right]^4_1 [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 So 21.06.2009 | | Autor: | DjHighlife |
ok, nun passt das Ergebnis!
Warum greift eigtl die obige Regeln in diesem Fall nicht?
Funktioniert das nur bei ganzzahligen Exponenten?
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 So 21.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Regel greift! 1/(r+1) mit r+1=1/2 ist 2.
Wie man durch nen Bruch teilt solltest du wissen. Ich hatte deinen Fehler uebersehen, sorry.
gruss leduart
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $\integral_{1}^{4}{ \left(x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{x^{-\bruch{1}{2}}}{x^{\bruch{1}{2}}} \right)dx}$
> $\ = \integral_{1}^{4}{ \left(x^{-\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{x}} \right)dx}$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $\ =\left[ \bruch{1}{2}x^{\bruch{1}{2}}+lnx \right]^4_1$ ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Faktor beim ersten Summanden ist falsch !
(Leduart scheint diesen Fehler übersehen zu haben)
LG Al-Chw.
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