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Forum "Funktionalanalysis" - Stammfunktionen bestimmen
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Stammfunktionen bestimmen: durch geeignete Substitution
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Mo 19.05.2008
Autor: katerkarlo

Aufgabe
Bestimmen Sie die Stammfunktionen von

f(x) = [mm] \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} [/mm]

und

g(x) = [mm] \frac{1}{2+sin(x)} [/mm]

durch geeignete Substitution

Das Prinzip der Substitution ist mir klar.
Ich weiß aus der Übung, dass geeignete (spezielle) Substitutionen geben soll.
Leider war ich in der entscheidenden Vorlesung nicht da.
Kann mir jemand einen Tipp für eine solche geben?

        
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Stammfunktionen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Mo 19.05.2008
Autor: leduart

Hallo kater
Eines der wichtigen Instrumente des Studiums ist Zusammenarbeit mit Kollegen. Wenn man halt mal ne Vorlesung versäumt hat, hilft Kommunikation mehr als das Netz.
1. solltest du erst mal rumprobieren, welche Substitution hast u schon versucht?
2. Kollegen fragen.
Wenn wir dafür sorgen, dass du zweitens versäumst, schaden wir dir.
ein Tip zur ersten: quadratische Ergänzung [mm] (x-a)^2+b [/mm] , substitution [mm] (x-a)/\wurzel{b}=u [/mm]
Gruss leduart

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Stammfunktionen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Mo 19.05.2008
Autor: katerkarlo

Ja, da stimmte ich dir generell zu. Der, mit dem ich zusammenarbeite, ist mir aber leider im Moment keine große Hilfe.  Aber zurück zur Aufgabe. Erstmal danke für den Tipp.

Mittels der Umformung ergibt sich:

[mm] \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{(x^2+x+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}} [/mm]

Wüßte aber nicht wie ich deine Substitution darauf anwenden sollte. Ich würde [mm] u=x+\frac{1}{2} [/mm] setzen, aber das ist sicher nicht, was du meintest.

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Stammfunktionen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Mo 19.05.2008
Autor: leduart

Hallo
doch u=x+1/2 ist der erste Schritt- aber da [mm] \wurzel{u^2+1} [/mm] noch besser ist kann man die 3/4 gleich mit rausnehmen. sonst kommt danach die zweite Substitution.
Gruss leduart

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Stammfunktionen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Mo 19.05.2008
Autor: katerkarlo

Okay, ich mache mal die zwei Schritte, auch wenn es anders einfacher ist.

--- [mm] u=x+\frac{1}{2} [/mm]
--- [mm] \frac{du}{dx} [/mm] = 1

[mm] \int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}} [/mm] dx
= [mm] \int{\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}} [/mm] du

--- r= [mm] \frac{2u}{\sqrt{3}} [/mm]
--- [mm] \frac{dr}{du} [/mm] = [mm] \frac{2}{\sqrt{3}} [/mm]

= [mm] \int{\frac{1}{\sqrt{(\frac{2u}{\sqrt{3}})^2*\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}}} [/mm] du
=  [mm] \int{\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}*(r^2+1)}}} \frac{\sqrt{3}}{2} [/mm] dr

= [mm] \int{\frac{1}{\sqrt{r^2+1}}} [/mm] dr

Was laut Marius-Tabelle... danke

= arcsinh t ist.

soweit erstmal richtig?.

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Stammfunktionen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Mo 19.05.2008
Autor: Merle23


> Okay, ich mache mal die zwei Schritte, auch wenn es anders
> einfacher ist.
>  
> --- [mm]u=x+\frac{1}{2}[/mm]
>  --- [mm]\frac{du}{dx}[/mm] = 1
>  
> [mm]\int{\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}[/mm] dx
>  = [mm]\int{\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}}[/mm] du
>  
> --- r= [mm]\frac{2u}{\sqrt{3}}[/mm]
>  --- [mm]\frac{dr}{du}[/mm] = [mm]\frac{2}{\sqrt{3}}[/mm]
>  
> =
> [mm]\int{\frac{1}{\sqrt{(\frac{2u}{\sqrt{3}})^2*\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}}}[/mm]
> du
>  =  [mm]\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}*(r^2+1)}}} \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
> dr
>  
> = [mm]\int{\frac{1}{r^2+1}}[/mm] dr
>  
> soweit erstmal richtig?.  

Dir ist die Wurzel abhanden gekommen.

Bezug
                                                
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Stammfunktionen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Mo 19.05.2008
Autor: katerkarlo

gut....

[..]

= [mm] \int{\frac{1}{\sqrt{r^2+1}}} [/mm]
= arcsinh r = arcsinh [mm] \frac{2u}{\sqrt{3}} [/mm] = arcsinh [mm] \frac{2x}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}} [/mm]

soweit zur ersten. kann mir das jemand bestätigen?

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Stammfunktionen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Mo 19.05.2008
Autor: Merle23

Sieht gut aus.

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Stammfunktionen bestimmen: Zweite Teilaufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:55 Mo 19.05.2008
Autor: katerkarlo

Aufgabe
Bestimmen Sie [mm] \int{\frac{1}{2+sin x}} [/mm]

Gut, habe inzwischen gelesen, dass man bei solchen Aufgaben meist mit der Substitution tan(x/2) weiter kommt.

u = tan [mm] \frac{x}{2} [/mm]
[mm] \frac{du}{dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 cos^2 \frac{x}{2}} [/mm]
dx = 2 [mm] cos^2 \frac{x}{2} [/mm] du = 1+cos x du

[mm] \int{\frac{1}{2+sin x}} [/mm] =
[mm] \int{\frac{1}{2+(\frac{sin x}{1+cos x} * (1+cos x))}} [/mm] =
[mm] \int{\frac{1}{2+(u * (1+cos x))}} [/mm] * (1+cos x) du

Ich werde das x aber nicht los.... jemand einen kleinen Tipp zur Substitution?


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Stammfunktionen bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Mo 19.05.2008
Autor: katerkarlo

Für diese Frage mache ich der Übersichtlichkeit halber einen eigenen Thread auf.

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Stammfunktionen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mo 19.05.2008
Autor: M.Rex

Hallo


Der Trick ist, die Funktion so zu substituieren, dass ich am Ende eine Funkton bekomme, deren  []Stammfunktion bekannt ist

Marius

Bezug
                
Bezug
Stammfunktionen bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:19 Mo 19.05.2008
Autor: katerkarlo

Danke für die Tabelle, die hat mir geholfen.

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