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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mo 22.04.2013 | | Autor: | milerna |
| Aufgabe | | Sei [mm] {B_t, t >= 0}eine [/mm] Standard Brownsche Bewegung. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] B_2 [/mm] und [mm] B_4 [/mm] beide positive Werte annehmen, 3/8 beträgt. |
Hallo,
ich kann obige Aufgabe nicht lösen. Ich wollte die Wahrscheinlichkeit aufteilen, da [mm] B_4 [/mm] - [mm] B_2 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] unabhängige Zuwächse haben, kann dann aber den 2. Term nicht bestimmen
[mm] P(B_2 [/mm] >0, [mm] B_4 [/mm] >0) = [mm] P(B_2 [/mm] >0) * [mm] P(B_4 [/mm] - [mm] B_2) [/mm] > 0 + ?
Kann mir jemand weiter helfen oder hat vielleicht einen anderen Ansatz? Bin für jede Hilfe dankbar!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/reply.php?topic=180245&replyto=0&lpi=1333441&tt=2013-04-22+13%3A00&post=1330094"e=1
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Hallo,
> Sei [mm]{B_t, t >= 0}eine[/mm] Standard Brownsche Bewegung. Zeigen
> Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass [mm]B_2[/mm] und [mm]B_4[/mm] beide
> positive Werte annehmen, 3/8 beträgt.
> Ich wollte die
> Wahrscheinlichkeit aufteilen, da [mm]B_4[/mm] - [mm]B_2[/mm] und [mm]B_2[/mm]
> unabhängige Zuwächse haben
Ja. das ist der richtige Ansatz.
> kann dann aber den 2. Term
> nicht bestimmen
> [mm]P(B_2[/mm] >0, [mm]B_4[/mm] >0) = [mm]P(B_2[/mm] >0) * [mm]P(B_4[/mm] - [mm]B_2)[/mm] > 0 + ?
Was du hier schreibst, gilt nicht. Die Wahrscheinlichkeiten links und rechts sind nicht gleich.
Anderer Ansatz:
Es gilt [mm] $B_4 [/mm] - [mm] B_2 \sim [/mm] N(0,2)$ und [mm] $B_2 \sim [/mm] N(0,2)$.
Damit gilt:
[mm] $\vektor{B_2\\ B_4 - B_2} \sim N\left(\vektor{0\\0}, \begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\right)$.
[/mm]
Es folgt mit $A = [mm] \begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\vektor{B_2\\ B_4} [/mm] = [mm] A*\vektor{B_2\\ B_4 - B_2} \sim \sim N\left(\vektor{0\\0}, A*\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}A^{T}\right)$.
[/mm]
Damit kennst du doch die Verteilung und kannst nun die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(B_2 [/mm] > 0, [mm] B_4 [/mm] > 0)$ bestimmen.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:19 Di 23.04.2013 | | Autor: | milerna |
Hallo,
danke. Habe das nachvollzogen. Dann kann ich jedoch das Integral nicht lösen.
[mm] $P(B_2 [/mm] > 0, [mm] B_4 [/mm] >0) = 1 - F( (0,0)')=1- [mm] \int_{- \inf}^0 \int_{ -\inf}^0 [/mm] 4 [mm] \pi)^{-1}*\exp(-0.25*(u-v)^2-0.25*u^2) [/mm] du dv$
Ich weiß, dass $ [mm] \int_{- \inf}^{\inf} \exp(-a*x^2) [/mm] dx= [mm] \sqrt( \pi [/mm] /a)$, aber kann es hier nicht anwenden. Hast du einen Vorschlag?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:52 Di 23.04.2013 | | Autor: | milerna |
bzw. mit Formeln aus dem Internet kriege ich folgendes raus:
... $=1- [mm] 1/(4*\pi) \int_{ -\inf}^0 exp(-0.25*u^2) [/mm] du [mm] \int_{-\inf}^0 exp(-1/2^2 [/mm] *(v+ [mm] (-u))^2) [/mm] dv = 1- [mm] 1/(4*\pi) \int_{ -\inf}^0 exp(-0.25*u^2) *0.5*2*\sqrt(\pi) [/mm] du = 1-1/4 = 3/4 $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:59 Di 23.04.2013 | | Autor: | milerna |
alles klar, hab vergessen, dass ich ja dann noch mit 0.5 multiplizieren muss. vielen dank!!
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